L'intérêt des méthodes numériques dans la résolution des équations différentielles ordinaires : étude des méthodes d´Euler

Résumé du document

On s'intéresse dans cet exposé à la résolution des équations différentielles avec conditions initiales, encore appelées problème de Cauchy. Ce sont des équations de forme :
x'(t) = f(t,x(t)); x(t0) = x0
où f est une fonction définie dans un ouvert Ω de xn à valeurs dans , (n≥1) et la fonction inconnue x définie dans  et à valeurs dans n. Ces équations sont utiles dans la modélisation mathématique de nombreux problèmes (mécanique, biologie, finance...). t désigne en général le temps, x une fonction de +. Les problèmes de Cauchy généralisent le cas des systèmes d'ordre supérieur à 1. Soit par exemple l'équation d'ordre m (m≥1) suivante:
x(m)(t)+a1(t)x(m -1)(t)+...+am(t)x(t)=b(t);x(t0)=x0;x(j)(t0)=xj 1≤j≤m

Le changement de variables x1(t) = x(t), xk(t)= x(k-1)(t), k étant dans l'intervalle (2-m) conduit au système:
X'(t) = A(t)X(t) + B(t);X(t0) = X0

Extraits

[...] Le problème est de savoir si pour un réel t donné, existe, et dans ce cas, comment déterminer une valeur approchée du réel y(t). La résolution numérique de ce problème exige une discrétisation de l'intervalle . On introduit un paramètre du discrétisation (ou pas de discrétisation) Δt qui correspond à un petit accroissement, raison d'une suite arithmétique de premier terme t0. Et on va approcher la solution aux points tn= t0+nΔt avec n(ς, c'est-à-dire construire des valeurs yn proches de y(tn). On notera alors en= y(tn) - yn l'erreur de discrétisation. [...]

[...] Cependant, une détermination analytique de la solution n'est pas possible dans ce cas. Tandis que, comme on le verra dans le prochain paragraphe, on peut trouver moyennant une méthode numérique la représentation graphique d'une solution approchée de l'équation, ou un tableau donnant différentes valeurs de y en fonction de t. Résolution numérique Idées générales autour de la résolution numérique Par le théorème d'existence et d'unicité de solution, il existe une unique solution y de l'équation où (t0,y0) désigne les conditions initiales. [...]

[...] Ainsi . Exemple Utilisation d'une série convergente. On considère le problème suivant: Soit la fonction : définie par . est continue en tant que fonction polynôme de deux variables. Nous allons montrer qu'elle est également localement lipschitzienne. Soit donc On a . On ne peut conclure à ce niveau. Pour trouver une bonne majoration, il faut se débarrasser du terme . [...]

[...] Lemme Soit I un intervalle ouvert de Ψ contenant t0 et I une fonction continue supposons que pour tout t ( I , ( Ω. Alors, x est solution du problème de Cauchy si et seulement si x est solution de l'équation intégrale = x0 Preuves: voir et 3-Exemples de résolution Exemple Intégration directe. On considère le problème suivant: avec x > 0 et t0 > 0 La fonction x(t)2 est continue et localement lipschitzienne (Cf. 1-1). Donc il existe une unique solution. Pour x ( Donc en intégrant membre à membre on c'est - à - dire . [...]

[...] Remarque Une fonction f peut satisfaire la condition de Lipschitz sur une partie non vide et bornée A de Ω sans être lipschitzienne sur Ω. Par exemple, pour = = x0>0 il est immédiat que les valeurs de restent positives et inférieurs à x0, la fonction x étant décroissante. On peut ainsi prendre A = où f vérifie une condition de Lipschitz de constante L = 2x tandis qu'elle na pas de telle propriété sur Ψ tout en t Définition 3 La fonction f est dite localement lipschitzienne si elle est lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de Ω. [...]