Intégration des systèmes différentiels

Résumé du document

On s'intéresse ici aux systèmes différentiels et à leur résolution. Ce document est de niveau prépa scientifique et deug maths/physique.
Après avoir rappelé le problème et l'existence et l'unicité d'une solution (Théorème de Cauchy-Lipschitz), on étudie les méthodes numériques à un pas (à pas séparés) : consistance, stabilité théorique, convergence. Dans une second on présente quelques méthodes à un pas: Méthode de Runge et Kutta, de Taylor, d'Euler.

Extraits

[...] Remarque 3 :Un système différentiel d'ordre p s'écrit : = g y'(t) . avec t ( Car on peut se ramener à un système différentiel du type précèdent, en posant : z1(t) = z2(t) = y'(t) . zp(t) = D'où le système : z'1(t) = z2(t) z'2(t) = z3(t) . z'p-1(t) = zp(t) z'p(t) = g z1(t) . Ex :y''' + 2y''(t) 5y'(t) + = sin Dans z1 = z2 = y', z3 = y'' alors cette équation devient : z'1 = z2 z'2 = z3 z'3 = -2z3 + 5z2 z1 + sin Théorème de Cauchy Lipschitz Si f est définie et continue dans x et vérifie une condition de Lipschitz, alors le problème de Cauchy admet une solution unique sur et ceci (y0 ( (m. [...]

[...] ordre 2 au moins) (iii) Pour qu'elle soit d'ordre 2 exactement il faut en plus que / (h2 ( 1/3 f2 On a ( = + f y + h = h = ( = + f + y + = f donc la méthode est au moins d'ordre un. ii) / = + / .1 + / . f donc / = / + / y). f = f1 exactement donc la méthode est au moins d'ordre 2. iii) on montre que / (h2 ( 1/3 f2 donc cette méthode est exactement d'ordre 2. En appliquant les mêmes idées que celles développées ci dessus (prédiction + correction) on aboutit aux méthodes de Runge Kutta (notées RK) d'ordre de plus en plus élevé. [...]

[...] On suppose que toutes les dérivées fk sont lipschitz / y et fk fk ( Lk y z ( z ( ( k = 0 p 1 On peut prendre Lk = sup dfk / dy On a alors ( ( ( (L0 + h / 2 ! L1 + . + hp 1 / Où L = L0 + / 2 ! L1 + . + a)p 1 / p ! Lp 1 ( est donc lipschitzienne et la méthode est stable. Par ailleurs cette méthode est consistante et d'ordre donc elle est convergente. [...]

[...] Intégration des systèmes différentiels Introduction Soit I = un intervalle fermé de R et t ( b]. Soit une application de * Rm ( continue et soit y0 ( Rm On appelle système différentiel, le système : y'(t) = dy(t) / dt = et condition de Cauchy = y0 En général, on cherche une application y continue et dérivable de ( Rm tel que y soit solution du problème de Cauchy : y'(t) = y = y0 Remarque 1 :on note souvent et t désigne souvent le temps. [...]

[...] Théorème :Si la méthode à un pas est stable et d'ordre p et si f ( Cp x alors ( N y(ti) yi ( M2 Chp Majoration à priori de l'erreur de discrétisation. On a d / dt [f' = df / dt = d / dt = df / dt + df / dy . y' = df / dt + dt / dy . f . fk = dfk 1 / dt + dfk 1 / dy . [...]