Intégration sur un segment : définitions et théorèmes

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Intégration sur un segment, définitions et théorèmes, formules mathématiques, théorème de Heine, formules de Taylor, fonctions en escalier, sommes de Riemann, inégalité de Taylor-Lagrange

Résumé du document

Ce cours de mathématiques s'intéresse à l'intégration sur un segment en proposant diverses définitions et théorèmes, tels que celui de Heine, le théorème de Taylor, ou encore les sommes de Riemann. Ainsi, toute fonction continue par morceau sur un segment y est borné, cependant, la fonction n'atteint pas forcément ses bornes. Selon le théorème de Heine, pour toute fonction f : I entraîne C, si f est uniformément continue sur I, f est continue sur I. De plus, si f est lipschitzienne, alors f est uniformément continue. Toute fonction continue sur un segment y est uniformément continue.

Extraits

[...] Cette limite est appelée intégrale de sur et est notée . Si en plus est en escalier, les deux notions d'intégrale coïncident. Théorème : Soit . . . Si . . Si les fonctions et sont égales sauf en un nombre fini de points, alors . Théorème : Soit et , continues par morceaux. Si , alors . Si sauf en un nombre fini de points, alors . Si alors . Si et continue . Définition : Soit et . III. [...]

[...] Intégration sur un segment I. Quelques espaces fonctionnels Définition : Une subdivision de est un ensemble du type i tel que : . Le pas de ma subdivision est . Définition : est continue par morceaux s'il existe une subdivision ) de telle que : soit continue sur et prolongeable par continuité en et . On dit que est adaptée à . L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur se note . Propriété : Si est adaptée à , si on ajoute un nombre fini de points à , on garde une subdivision adaptée à . [...]

[...] Pour les fonctions en escalier Définition théorème : Soit . Soit une subdivision de adaptée à . On note la valeur de sur . Alors le nombre est indépendant de la subdivision choisie. On l'appelle intégrale de et on le note : . Théorème : Soit . Soit . Alors : . . Si . . Théorème : Si sur . Si sur . B. Approximation uniforme Propriétés : (inégalité triangulaire). Définition : Soit , on dit que est la distance uniforme entre et . [...]

[...] Intégrale et dérivée Définition : Soit . On dit que est une primitive de sur si : est dérivable sur et . Théorème (fondamental du calcul intégrale) : Soit . Alors : est une primitive de sur . Si , il existe une unique primitive de qui vaut en : c'est . Si est une primitive de sur Théorème : Soit . Alors : Si est paire Si est impaire Si et est -périodique, alors : . Théorème (intégration par parties) : Soit . [...]