L'intégration numérique.

Résumé du document

Ce document traite d'intégration numérique : comment programmer informatiquement un calcul d'intégrale quelconque, comment fonctionnent les fonctions déjà implémentées dans les logiciels. Il s'adresse à des étudiants en prépa scientifique et en deug maths/physique.
On commence par définir l'approximation de l'intégrale avant d'étudier l'erreur, dite de quadrature. Ensuite, on s'attarde sur la stabilité de convergence des formules de quadrature avant de finalement voir les méthodes de Newton – Cotes, et en particulier la méthode des trapèzes et celle de Simpson.

Extraits

[...] Théorème :Une CNS pour qu'une formule de quadrature soit stable est qu'il existe une constante M positive indépendante de n tel que Convergence On se pose la question de savoir si l'erreur de quadrature Rn tend vers 0 lorsqu'on augmente le nombre de points xi, pour un certain ensemble ( de fonction f ! ? Définition :Une formule de quadrature est dite convergente sur ( si ( ( on a Ici on considère = ensemble des fonctions continues sur muni de la norme de la convergence uniforme. [...]

[...] Théorème :Cas n pair, si f ( Cn+2 alors l'erreur de quadrature dans la formule de Newton Cotes est donnée par l'expression suivante : Théorème :Cas n impair, si f ( Cn+1 alors Méthodes composites. Dans ces méthodes, on subdivise en p sous intervalles x1].[x1, x2] b]. Sur chacun de ces intervalles, on applique une formule de quadrature de Newton Cotes avec n = 1 ou 2. Dans le cas où les xi sont équidistants si n = on obtient la formule des Trapèzes si n = on obtient la formule de Simpson. a)Méthode des trapèzes. [...]

[...] On pose xi = a + ih h = / p Si f ( C2[a, l'erreur : Par conséquent, en rassemblant les formules pour i = 0 p on obtient : Ce qui peut s'écrire : Où b)Méthode de simpson. [...]

[...] Si k = on dit que cette formule est du type ouvert. On a vu que les formules de quadrature s'écrivent où Le polynôme d'interpolation de Lagrange s'écrit Où d'où Le changement de variable t = / on obtient Pour i = 0 n Dans cette expression on voit que On obtient ainsi Pour n = et donc Pour n = et On pourrait écrire ainsi les formules pour n = mais la non stabilité et la non convergence des formules de Newton Cotes nous incitent à ne les utiliser dans la pratique que pour n = D'après les formules composites (Trapèze, Simpson ) Remarque :sur l'erreur de Newton cotes. [...]

[...] Or on a = Pn(x) + En(x) donc comme L est linéaire, on a = L(Pn + En) = L(Pn) + D'autres part L(Pn) = ) f(xi) L = = (f(xi).wi Avec wi = L (Li Les coefficients de wi ne dépendent pas de la fonction. Supposons que f soit C1[a, et soit wi une fonction poids donnée qui ne s'annule pas sur et intégrable sur b]. On cherche une approximation numérique de et plus généralement de Pour cela, il est naturel d'appliquer les formules d'interpolation de f. [...]