Intégration de fonctions positives sur un intervalle quelconque

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence sur l'intégration des fonctions positives sur un intervalle quelconque, avec des exemples et des exercices de synthèses pour assurer la compréhension.

Extraits

[...] 1 La fonction x est-elle int´egrable sur ln x egle des equivalents eor` eme 2 egle des equivalents) f = 1. Z Si g est int´egrable sur alors f est aussi int´egrable sur et les fonctions f dt x Z et dt sont ´equivalentes quand x tend x Z x Si g n'est pas int´egrable sur alors f ne l'est pas non plus et les fonctions f dt et a Z x dt sont ´equivalentes quand x tend Soient f et g deux fonctions continues sur ` a valeurs positives telles que a Plus g´en´eralement, on a le corollaire suivant 5 lim Corollaire 1 Si f = l u l alors les fonctions f et g sont de mˆeme nature lim sur emonstration de la egle des equivalents f f lim = 1 > max(a, t A 1 ε f > max(a, t A 1 ε > max(a, t A ε)g(t) f + ε)g(t). [...]

[...] Γ(r + Exercice 18 1 s 1. Montrer que la fonction x xr ln est int´egrable sur pour tout x On pose alors Z 1 1 s r = x ln dx. [...]

[...] Deuxi`eme cas : l = alors f est int´egrable sur si α 5 Int´ egration des fonctions continues positives et non born´ ees sur Soit f une fonction continue sur valeurs positives. On proc`ede exactement de la mˆeme fa¸con que dans le paragraphe 2 et on a les mˆemes th´eor`emes en rempla¸cant b par a. [...]

[...] Exercice 13 r On pose pour tout n fn = xn 1+x . Z 1 fn dx. 1.V´erifier que fn est int´egrable sur ; on pose In = Calcul de In Z 1 xn+1 xn dx + dx x2 1 x Z xn xn+1 2.2 En d´eduire que In = dx si n est pair et In = dx si n est impair x x2 En effectuant le changement de variable x = sin θ , ´etablir que Z V´erifier que In = I2p = π p C2p 22p et I2p+1 = π p+1 C2p+2 22p+ Exercice V´erifier que la fonction f : x f = qu'elle est int´egrable sur ; on pose est prolongeable par continuit´e au point 0 et ln x Z 0 Z 2. [...]

[...] = , ´etablir que Γ 2 1 = π Soit n Montrer Γ(n) = Exprimer Γ n + en fonction de Γ xα−1 Pour quelles valeurs du param`etre r´eel α, la fonction x est-elle int´egrable sur 1+x Z x ; et dans ce cas exprimer l'int´egrale dx l'aide de la fonction Γ. 1+x Exercice Pour quelles valeurs des param`etres r´eels r et la fonction x est-elle int´egrable sur ? 2. On pose pour tout Z dx. = V´erifier que = En posant x = sin2 θ, montrer que Z π = (sin θ)2r−1 (cos θ)2s−1 dθ On montrera dans le chapitre int´egrales doubles que pour tout = Γ(r)Γ(s) . [...]