Intégrales multiples.

Résumé du document

Ce document donne les bases de l'intégration d'une fonction de deux ou trois variables réelles : intégrale double ou triple. Ce document est de niveau prépa scientifique ou deug de maths/physique.
Pour définir l'intégrale, il est nécessaire d'introduire les notions d'ensemble pavable et d'ensemble quarrable. On peut ensuite définir la notion d'intégrale double et plus généralement d'intégrales répétées. Pour calculer ces intégrales, on est souvent amener à faire un changement de variables pour obtenir de nombreuses applications de l'intégrale double : calcul d'aire voire même d'intégrales simples difficiles en dimension 1. Enfin on traite des intégrales triples, des changements de variables à l'intérieur et de leurs applications.

Extraits

[...] On pose dans ce cas: s = Inf(A). On suppose dans la suite que n = 2 (la théorie est similaire pour n ( 2 Définition 4 Définition Soit A(R2 une partie bornée, A(P. Soit B une partie pavable de R2 telle que B(A(P. Dans ce cas, on voit que B pavable, est une partie non vide et majorée de R. On pose = Sup B pavable} De même, B pavable et ( ( (par hypothèse, est dans cet ensemble et minoré par 0). [...]

[...] Il existe m et M tels que m ( ( (x(S. Soit S ,Sl une subdivision de S notée On pose et , puis et . On dit que et sont les sommes de Darboux de la subdivision Dans le cas où ( et constituent respectivement des approximations par défaut et par excès du volume limité par Si et le graphe de f. On a mi ( Mi, donc ( On a Mi ( M d'où . De même, on a . [...]

[...] On a alors . On obtient ce qu'on appelle une somme de Reimann associées à f. Si est un pavage inclu dans on peut toujours l'inclure dans un pavage B de type précédent. et ( Alors = Sup et est une somme de Reimann. Or les sommes de Reimann permettent de définir comme le Sup de toutes les sommes de Reimann. On fait une théorie similaire avec les pavages qui contiennent A d'où 6 Propriétés Intégrale double 1 Définition d'une subdivision Soit S(R2 une partie quarrable de R2. [...]

[...] On rappelle que P est un pavé de Rn. On P = ,xn)(Rn ; , On pose = . On dit que est la mesure du pavé P. Pour n = est la longueur du segment Pour n = est l'aire du rectangle P Pour n = est le volume du parallélépipède P Remarque Si pour un indice i0, (i0 = Dans le bord de P n'intervient pas 3 Ensemble pavable Remarque Deux pavés distincts ont en commun au plus une partie de leurs bords. [...]