Les intégrales impropres

Thèmes abordés

Intégrales impropres, intégration, fonction impaire, relation de Chasles, intégrales de Riemann

Résumé du document

Pour calculer la valeur d'une intégrale impropre, il faut toujours revenir à une intégrale sur un segment, puis passer à la limite, sauf s'il s'agit d'une intégrale de référence, ou si vous effectuez uniquement un changement de variable affine.

Extraits

[...] e e e 2. Par translation (ou en effectuant un changement de variable affine, on obtient la propri´t´ suivante : ee b a dt t)β b et a dt a)β convergent si et seulement si β [...]

[...] Quid des fonctions prolongeables par continuit´ ? e Ces fonctions ne rentrent pas dans ce cadre car on n'a pas f = (sinon, elles ne seraient pas prolongeables). Cependant, comme on peut prolonger la fonction f en une fonction f continue sur on peut poser b b f (t)dt = a a f (t)dt cette derni`re int´grale ne pose plus de probl`me car c'est l'int´grale d'une fonction continue. u e e e e On parle dans ce cas d'int´grale faussement g´n´ralis´e. [...]

[...] Solution : Au voisinage de e = o(1/t donc, comme dt converge (Riemann), t2 e 1 dt converge aussi 0 Enfin, comme t est continue sur elle est int´grable sur ce qui assure l'existence de e dt Int´grale absolument convergente e D´finition 1.4 Int´grale absolument convergente e e Soit f une fonction continue (ou continue par morceaux) sur l'intervalle On dit que l'int´grale de f sur est absolument convergente lorsque e a f dt converge. Th´or`me 1.4 Toute int´grale impropre absolument convergente est convergente. e e e Remarque. Ce th´or`me nous fournit une nouvelle m´thode pour ´tudier la convergence d'int´grales de fonctions de signe e e e e e non constant, en ´tudiant l'int´grale de la valeur absolue, ce qui nous permet alors d'utiliser les th´or`mes de la partie e e e e pr´c´dente. Cette m´thode ne fournira cependant aucune indication concernant la valeur de cette int´grale. [...]

[...] 2 Remarque. Pour pouvoir utiliser cette propri´t´ (et surtout son r´sultat), il faudra bien s'assurer de la convergence de ee e l'int´grale avant ! e Par exemple, la fonction f : t t est impaire, mais, comme f (t)dt est divergente, on ne pourra pas utiliser cette propri´t´ (car dans ce cas, l'´criture ee e f (t)dt n'a pas de sens On retrouve par ailleurs (une fois la convergence ´tablie) la valeur de e fonction impaire. 2t dt, car c'est l'int´grale d'une e e + t2 ) Propri´t´s e e Les propri´t´s ´nonc´es ici seront valables pour toutes les int´grales impropres, mˆme si elle ne sont donn´es qu'avec les ee e e e e e int´grales sur e Dans la suite de cette partie, toutes les fonctions consid´r´es sont continues ou continues par morceaux sur ee Proposition 1.2 Relation de Chasles Pour tout α les int´grales e a f (t)dt et α f (t)dt sont de mˆme nature et, lorsqu'elles convergent, on a : e α f (t)dt = a a f (t)dt + α f (t)dt. [...]

[...] e n D´monstration. Posons, pour tout n , Sn = e k=1 f Soit ` pr´sent k . Comme f est d´croissante sur k + on pour tout t k + f f f + 1). Par a e e positivit´ de l'int´grale (les bornes sont dans le bon sens), on a : e e k+1 k+1 k+1 f = k f (k)dt k f (t)dt k f + 1)dt = f + 1). En sommant ces in´galit´s pour k variant de 1 ` on obtient : e e a n n+1 n Sn = k=1 f 1 f (t)dt k=1 f + = Sn+1 f Si 1 f (t)dt converge, comme f est positive, on pour tout n n+1 f (t)dt f et donc 1 Sn+ Par suite, la suite (Sn ) est major´e, et, comme elle est aussi croissante, elle converge. [...]