Les intégrales généralisées: convergence et divergence

Thèmes abordés

Intégrales généralisées, convergence, divergence, mathématiques, intégrale, fonction

Résumé du document

L'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné défini. Nous allons étendre cette notion au cas où l'intervalle est non bornée ou la fonction f elle-même est non bornée. Cette nouvelle intégrale est appelée intégrale généralisée ou intégrale impropre.

Extraits

[...] On a alors, pour tout x : a f (t)dt a f (t)dt = = f (t)dt a f (t)dt x f dt x a f (t)dt M Comme M tend vers 0 lorsque x tend vers ceci montre que a f (t)dt a f (t)dt x d'o` le r´sultat. u e Exemple Etude de l'int´grale 0 sin t dt e t e La borne impropre est 0. On a limt→0 sin t = 1. Donc l'int´grale converge. t D´finition Deux int´grales g´n´ralis´es sont dites de mˆme nature au voisinage e e e e e e d'une borne impropre, si elles sont simultan´ment convergentes ou simultan´ment divere e gentes. On peut montrer sans trop de peine la proposition suivante. [...]

[...] e e e e e Exemple : Etude de dt t2 1 dt On a 0 t2 qui diverge, donc l'int´grale dt diverge. e t2 On montre que : CONVERGENCE, DIVERGENCE D'UNE INTEGRALE GENERALISEE 9 Proposition Soit f une fonction continue un intervalle born´ ou non. pour e que l'int´grale de f sur cet intervalle soit convergente, il faut et il suffit que la fonction e y Φ : f (t)dt [...]

[...] On dit que l'int´grale de f sur I est absolument convergente si l'int´grale a f dt e e est convergente. e D´finition Soient f une fonction num´rique continue sur un intervalle ouvert ou e semi-ouvert I de R d'extr´mit´s et b. On dit que l'int´grale de f sur I est semie e e convergente si elle est convergente sans ˆtre absolument convergente. e e e Th´or`me Soient I un intervalle ouvert ou semi-ouvert de R d'extr´mit´s e e et f continue sur I. [...]

[...] e Etant donn´ c l'int´grale g´n´ralis´e a f (t)dt est convergente si et seulement si e e e e e f (t)dt est convergente et dans ce cas, c b f (t)dt = a c f (t)dt + a b f (t)dt. c On dit alors que la nature de a f (t)dt n'est d´termin´e que par le comportement de e e f au voisinage de b. C'est donc une propri´t´ asymptotique. ee CONVERGENCE, DIVERGENCE D'UNE INTEGRALE GENERALISEE Exemples fondamentaux Int´grale de Riemann au voisinage de l'infini : Etude de e supposons que α = 1. [...]

[...] e du Ainsi a f (t)dt est de mˆme nature que ln a uβ , elle converge donc si et seulement e si β > 1. En conclusion dt converge pour α > 1 et β quelconque ou α = 1 et β > 1. a tα (ln t)β Th´or`me (In´galit´ de Cauchy-Schwarz pour les int´grales g´n´ralis´es) e e e e e e e e 2 2 Soit f et g des fonctions continues sur un intervalle de R. Si a f (t)dt et a g (t)dt convergent, alors a f (t)g(t)dt converge absolument (donc converge), et : b f (t)g(t)dt a ) b f (t)dt a ) b g (t)dt . [...]