Intégrales généralisées.

Résumé du document

Ce document traite de la notion d'intégrales généralisées au sens où les intégrales sont définies sur des intervalles non bornés ou sur des segments où la fonction n'est elle-même pas bornée. Ce document est de niveau prépa scientifique ou deug maths/physique.
Tout d'abord, une première définition est donnée puis les généralisations aux intervalles non bornés et aux fonctions non bornées sont explicitées. On étudie ensuite les critères de convergences de ces intégrales : quand sont elles définies ? Un certains nombre de théorèmes et de fonctions de référence permettent de répondre à cette question.

Extraits

[...] Remarque Ceci est toujours vérifié si f est continue. Si existe, on dit que l'intégrale généralisée existe sur et on note cette limite. Remarque Dans ce cas, on dit aussi que converge quand cette limite existe. On note aussi Exemple . Or . Donc existe et vaut - Intégrales généralisées de Riemann Soit . Premier cas: ( = 1 ( Divergence. [...]

[...] Si existe, on dit que l'intégrale généralisée sur existe et on note cette limite Exemples . Donc l'intégrale généralisée est . . Donc l'intégrale généralisée n'existe pas Intégrales généralisée de Riemann Soit où Premier cas: ( = Donc l'intégrale généralisée n'existe pas. Deuxième cas: ( ( Or . Donc: Remarque Quand existe, on dit que converge et qu'elle diverge dans le cas contraire Deuxième généralisation Soit (éventuellement f n'est pas bornée sur On suppose que pour tout nombre réel tel que ( existe. [...]