Intégrales dependant d'un paramètre

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Classe préparatoire aux grandes écoles (Spé PC*) sur les intégrales dépendant d'un paramètre.

Extraits

[...] Soit essayer d'appliquer le théorème de limite par encadrement (ou des gendarmes). Soit montrer que g est monotone, alors on a lim = lim g(n). Puis on applique par exemple le théorème de convergence dominée Soit poser y = et = h = et prouver la continuité de h en 0. x x Soit démontrer le théorème de passage à la limite en utilisant la caractérisation séquentielle de la limite et le théorème de convergence dominée, en effet : lim = (un AN de limite + lim g (un ) = et g (un ) = I f (un , dt ne dépend que de donc on peut essayer d'appliquer le théorème de 2009- convergence dominée , ce qui est possible si l'on a vérifié l'hypothèse de domination sur I . [...]

[...] Pour tout x la fonction t est continue par morceaux sur I. Si Pour tout segment B inclus dans A , il existe ψB continue par morceaux et intégrable sur I telle que : B ψB hypothèse de domination locale pour g est de classe C 1 sur A et : alors dt . g = I III Extension aux fonctions de classe C k Pour montrer que g est C 2 sur il suffit de montrer que g est C 1 et que g est C 1 sur A . [...]

[...] Intégrales dépendant d'un paramètre Spé PC* 2009-2010 Dans tout le chapitre, I désignera un intervalle quelconque de R dont l'origine et l'extrémité (prises dans R ) sont notées a et b. On a donc I = (segment ou compact de I = avec a [...]

[...] alors g définie sur A par = dt est continue sur A. I Remarque : Bien entendu, la vérification d'une hypothèse de domination locale est à vérifier lorsque l'hypothèse de domination globale (voir ci-dessous) n'est pas vérifiée, ce qui est assez souvent le cas. hypothèse de domination (globale) sur A I : il existe ϕ continue par morceaux et intégrable sur I telle que : A ϕ(t) 1 II Dérivation sous le signe ( Formule de Leibniz ) A I K . [...]