Les intégrales doubles : intégration en coordonnées cartésiennes, changement de variables, etc.

Vincent P.

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Les intégrales doubles : intégration en coordonnées cartésiennes, changement de variables, etc.

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Cours de Mathématiques niveau Licence sur les intégrales doubles comportant des exemples et des exercices ainsi qu'une partie finale proposant une série d'exercices résolus sur l'ensemble du cours.

Sommaire

I) Motivation

II) Un exemple

III) Intégration en coordonnées cartésiennes

A. Cas d'un domaine rectangulaire
B. Cas d'un domaine borné quelconque

IV) Changement de variables

A. Jacobien
B. Théorème du changement de variables et exemples
C. Propriétés de l'intégrale double

V) Extension de la notion d'intégrale double au cas où le domaine D n'est pas borné ou au cas où f n'est pas continue sur D

VI) Exercices résolus

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Extraits

[...] En passant aux coordonnées polaires, on obtient ZZ I=4 où = θ) ; 0 θ π2 et Z π cos θ rdr + r2 Z π dθ = rdrdθ + r2 cos θ r ; d'où Z π 1 dθ dθ = + + cos θ + tan θ cos2 θ 0 En faisant le changement de variable t = tan θ, on obtient I = = = Z dt + + t t + 2 Arctan π ( 2 2 Exercice résolu 4 Soit a et Da = π2 ] a]. Le but de cet exercice est de calculer l'intégrale ZZ Da dxdy + y cos x π 2 dx On considère la fonction g dénie sur par = + y cos x En eectuant le changement de variable t = tan x montrer que Z = p Arctan 1 y 1+y En eectuant le changement de variable y = cos calculer Conclure. . [...]

[...] 2 Un exemple Soit f la fonction dénie sur R2 par f = (xx2 ) x . x2 + y 2 Z 1 x xé non nul, calculer F = f dy 0 Z 1 y xé non nul, calculer = f dx Calculer Pour x x2 + y 2 et Pour Nous avons pour tout donc 0 F dx. Z dy Par conséquent x2 y 2 dy = (x2 + y 2 ) Z 0 autrement dit Z 0 y 2 x + y y dy = 2 x + y2 f dx De même F dx = [arctan x]x=1 x=0 = Z (x2 + y 2 ) x(2x) y 2 x2 = , (x2 + y 2 (x2 + y 2 x2 y (x2 + y 2 F = = puis Z x = x2 + y 2 y = x2 + y 2 Z Z puis x2 y 2 dx = (x2 + y 2 ) Z dy = = y=0 x π π y 2 x2 x 1 2 dx = 2 + y ) x + y + y Ainsi 1 Z 1 Z dy = autrement dit Z 1 π dy = −[arctan y]y=1 y=0 = 1+y 1 f dy 0 On constate donc que 1 Z 1 Z dx f dy 0 π dx = f dx dy Intégration en coordonnées cartésiennes Cas d'un domaine rectangulaire Théorème 1 (Théorème de Fubini) Soient D le domaine rectangulaire et f une fonction continue de dans R. [...]

[...] En déduire que ZZ ZZ 2 2 ) dx dy BR 2 2 ) ZZ KR Montrer que lim ZZ 2 2 ) dx dy 2 2 ) dx dy. B2R dx dy KR existe et la calculer. Déduire de ce qui précède, la valeur de l'intégrale Z 0 dx Théorème 4 (Théorème de Fubini) Soit D = I J où I et J sont des intervalles bornés ou non. Si f continue ou non sur alors Z f dy I Z f dx dy. dx = J J I Autrement dit, si f on peut toujours intervertir les intégrales. [...]

[...] ϕ2 f dy a Z d f dx dy. c Exemple : D = R2 0 x ϕ2 = x. ψ1 x y f = xy , a = b = ϕ1 = Exercice d'application Calculer ZZ (x2 + y 2 ) dx dy Z ZD où D = R2 ! ψ2 dx = ϕ1 1. Calculer l'aire de l'ellipse E où E = Z x2 y 2 + a2 b2 R2 x 1 et x2 y p 3. [...]

[...] + y 2 + yx) dx dy = 2I + xy x y + + xy) + = 1+x 1+y + x2 + y 2 ) ZZ 2I = D D'autre part, nous avons ZZ D ZZ D Par symétrie D y x + 2 1+x 1 + y2 on déduit que c'est-à-dire ZZ + dx dy . + x2 + y 2 ) x dx dy = + x2 + y 2 ) 1 0 x dx 1 + x2 dy 1 + y2 , h i1 π x dx dy arctan y = ln(1 + x ) = ln 2. [...]

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