Groupe symétrique et déterminants : définitions et propriétés

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Groupe symétrique, déterminants mathématiques, définitions et propriétés, théorèmes, formules mathématiques, famille de vecteurs, matrice carrée, endomorphisme

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques se concentrant sur le groupe symétrique et les déterminants, dont ses diverses définitions, propriétés et théorèmes. Ceux-ci sont principalement notés sous la forme de formules mathématiques. Ainsi, on dit que deux permutations sont disjointes si leurs supports sont disjoints. Par ailleurs, deux permutations disjointes commutent. Toute permutation est le produit de cycles à supports disjoints, et ce d'une unique manière (à l'ordre des facteurs près). De plus, un 2-cycle est appelé une transposition, et toute permutation est un produit de transposition.

Extraits

[...] Déterminant d'une matrice carrée Définition : Soit . Le déterminant de , noté , est : . Propriété : Si est une base de et une famille de vecteurs, alors : . Théorème : est une forme -linéaire par rapport aux colonnes. Si . Si et sont dans . . De plus . C. Déterminant d'un endomorphisme Définition : Soit une base de , alors le nombre est indépendant du choix de la base : c'est ce qu'on appelle le déterminant de , noté . [...]

[...] On dit que est alterné si et est nulle dès que 2 vecteurs sont égaux). Théorème : Soit une forme -linéaire alternée, alors : est nulle sur toute famille liée. (on ne change pas l'image en rajoutant à un vecteur une combinaison linéaire des autres). est antisymétrique : . Cas général : . III. Déterminants A. Déterminant d'une famille de vecteurs Définition : Soit sur -espace vectoriel de dimension , une base de , une famille de vecteurs de . On pose . Le déterminant de dans est . [...]

[...] Groupe symétrique et déterminants I. Le groupe symétrique Définition : Soit un ensemble. On note l'ensemble . Alors est un groupe. Dorénavant : E = et on notera le groupe . Notation : Si , on la représentera souvent sous la forme : . Définition : Si , le support de est : . Propriété : On dit que deux permutations sont disjointes si leurs supports sont disjoints. Théorème : Deux permutations disjointes commutent. Définition : Soit . Un -cycle est une permutation tel qu'il existe avec : et . [...]

[...] Une opération du type ou multiplie le déterminant par . Une opération du type ou multiplie le déterminant par . C. En développant par rapport à une ligne ou à une colonne Définition : Soit . Soit . Le mineur d'ordre de sera où est la matrice extraite de sans la ligne et la colonne . On le note . Le cofacteur d'ordre de sera . Théorème : . . D. Comatrice Définition : Si , sa comatrice, notée , est la matrice de ses cofacteurs : . [...]