Géométrie : notions essentielles

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Licence sur la Géométrie. Le cours aborde les notions à connaître pour l'entrée en classe préparatoire. Il convient donc également aux lycéens.

Extraits

[...] Si on note 𝑯 le projeté orthogonal de 𝑴 sur la droite (𝑨𝑩), on a : 𝑨𝑩 𝑨𝑴 = 𝑨𝑩 𝑨𝑯 Vecteur normal à une droite 𝑛 (𝐷) 𝑛 𝑢 Fig Le vecteur 𝑛 est normal à la droite (𝐷). Dans toute cette section, on raisonne dans le plan muni d'un repère orthonormal. Définition 3 Un vecteur non nul 𝒏 est normal à une droite (𝑫) de vecteur directeur 𝒖 si, et seulement si, 𝒖 et 𝒏 sont orthogonaux (figure 3). Théorème 5 Soit 𝑨 un point du plan et 𝒏 un vecteur non nul. [...]

[...] Intersection de trois plans Théorème 18 Soit 𝓟𝟏 , 𝓟𝟐 et 𝓟𝟑 trois plans distincts non parallèles deux à deux, de vecteurs normaux respectifs 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 et 𝒏𝟑 . Si 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 et 𝒏𝟑 sont coplanaires, alors l'intersection de 𝓟𝟏 , 𝓟𝟐 et 𝓟𝟑 est soit l'ensemble vide (lorsque la droite d'intersection de deux des plans est strictement parallèle au troisième), soit une droite. Si 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 et 𝒏𝟑 ne sont pas coplanaires, alors l'intersection de 𝓟𝟏 , 𝓟𝟐 et 𝓟𝟑 est un point. [...]

[...] Alors : 𝒖 𝒗 = 𝒙𝒙' + 𝒚𝒚' + 𝒛𝒛' Expressions géométriques Orthogonalité 𝐵 𝑂𝐵 𝐴𝑂𝐵 𝑂 𝑂𝐴 𝐴 Fig Dans le plan, 𝐻 est l'intersection de la droite (𝐷) et de la droite (𝐷') perpendiculaire à (𝐷) et passant par 𝑀. 𝒫 𝑀 𝐻 Fig 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝑀 sur (𝐷). (𝐷) Théorème 3 Soient 𝒖 et 𝒗 deux vecteurs non nuls de l'espace. Alors : 𝒖 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬 𝒖, 𝒗 𝑂, 𝐴, et 𝐵 étant trois points de l'espace deux à deux distincts : 𝑂𝐴 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 cos 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 = 𝑂𝐴 𝑂𝐵 cos 𝐴𝑂𝐵 Remarque Dans l'espace, l'angle des vecteurs 𝑂𝐴 𝑒𝑡 𝑂𝐵 est l'angle géométrique 𝐴𝑂𝐵 (figure 1). [...]

[...] Le vecteur 𝑛 est donc normal au plan 𝓟 Un plan a une infinité d'équations cartésiennes, toutes équivalentes. Théorème 8 Equation cartésienne du plan Soit le triplet de réels (𝒂, 𝒃, 𝒄) (𝟎, 𝟎, 𝟎). Tout plan 𝓟 de vecteur normal 𝒏(𝒂, 𝒃, 𝒄) a une équation du type 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 Réciproquement : Si 𝒂, 𝒃, 𝒄 et 𝒅 sont quatre réels avec (𝒂, 𝒃, 𝒄) (𝟎, 𝟎, 𝟎), le plan d'équation 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 admet pour vecteur normal 𝒏(𝒂, 𝒃, 𝒄). [...]

[...] Si 𝐵 est un point de (𝐷) et 𝑛 un vecteur normal à (𝐷), alors la distance de 𝐴 à (𝐷) est : 𝐵𝐴 𝑛 𝐴𝐻 = 𝑛 Si 𝐴 a pour coordonnées (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) et (𝐷) pour équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = avec (𝑎, 𝑏) alors : 𝑎𝑥𝐴 + 𝑏𝑦𝐴 + 𝑐 𝐴𝐻 = 𝑎² + 𝑏² Exemple La droite (𝐷) d'équation 𝑥 + 𝑦 4 = 0 admet 𝑛(1,1) pour vecteur normal. Soit 𝐴(1,1). Alors la distance de 𝐴 à (𝐷) est donnée par : 𝑑 𝐴, (𝐷) = = = + Equation de plan dans l'espace Projection orthogonale sur le plan 𝑀 𝓟 𝑀′ (𝐷) Fig 4 La droite (𝐷) est perpendiculaire au plan 𝒫. Le point 𝑀' est le projeté orthogonal de 𝑀 sur 𝒫. 𝑛 𝑛 𝑣 𝑢 Fig Le vecteur 𝑛 est normal au plan 𝒫. 𝒫 Définition 4 Soit 𝓟 un plan. [...]