Géométrie euclidienne en dimension 3

Résumé du document

I) Produit mixte

A. Définition
B. Propriétés

II) Produit vectoriel

A. Définition
B. Calcul
C. Propriétés

III) Problèmes de distances dans E affine euclidien orienté de dimension 3

A. Distance d'un point à un plan
B. Distance d'un point à une droite dans l'espace
C. Distance de deux droites non coplanaires

Extraits

[...] Géométrie euclidienne en dimension 3 - produit vectoriel et problèmes de distances Spé PC* 2009-2010 Dans tout le chapitre, E désignera un espace euclidien orienté de dimension 3. Si nécessaire, on choisira une origine dans cet espace, ce qui conférera à E une structure d'espace affine. I I.1 Produit mixte Définition Définition I.1 Soient w trois vecteurs de E. Soit B une base orthonormée directe, alors detB est indépendant de la base orthonormée directe choisie et est noté produit mixte des trois vecteurs. [...]

[...] II.2 Calcul Soit B = une base orthonormale directe de E. On écrit u = u1 ı+u2 v = v1 ı+v2 k et x = alors le développement suivant la dernière colonne du produit mixte donne : u1 v 1 x u v2 u v1 u v1 = u2 v2 y = 2 1 1 z = u v x et u3 v3 u3 v3 u2 v2 u3 v 3 z u v2 u v1 u v1 2 1 1 k u3 v3 u3 v3 u2 v II.3 Propriétés Par définition du produit vectoriel à partir du produit mixte qui est tri-linéaire alterné, on obtient : v u = v u v est bilinéaire antisymétrique donc alternée. [...]

[...] Si P est un plan vectoriel de pour construire une base orthonormale directe de E adaptée à une décomposition E = il suffit de choisir K orthogonal au plan P et normé, I un vecteur normé du plan et J = K I. Ainsi est une base orthonormale directe de E. (Voir la figure 2). K J I P Figure 2 Construction d'une base orthonormale directe adaptée à un plan P III III.1 Problèmes de distances dans E affine euclidien orienté de dimension 3 Distance d'un point à un plan Soit P le plan affine passant par un point A et dirigé par les vecteurs u et alors : 2009- dist(M = AM0 ] n AM0 n . [...]

[...] Si B = est une base orthonormale directe de alors, ı = k = ı, k ı = Si u et v sont deux vecteurs d'écart angulaire θ, on a : = u v sin θ (Voir la figure 1). v θ u Figure 1 produit vectoriel u v est l'aire du parallélogramme construit sur u et v). En particulier si u et v sont orthogonaux, = u v . Formule du double produit vectoriel : u = u w v u v w. [...]