Géométrie Euclidienne

Thèmes abordés

Algèbre-Géometrie euclidienne- Produit scalaire- Base orthonormée

Résumé du document

Cours + Exercices sur la géométrie euclidienne ( 1ère année de CPGE)

Extraits

[...] Preuve. Voui avec un beau dessin. Remarque 41 Il n'y a pas unicité d'une décomposition d'une rotation donnée en produit de deux réflexions. idE2 = s1 s1 = s2 s2 avec s1 = s Plus général : c'est général, c'est le cas pour toute rotation, dessin Un automorphisme orthogonal du plan est soit une réflexion, soit le produit de deux réflexions (et c'est dans ce cas une rotation). Ainsi, tout automorphisme orthogonal du plan est produit d'au plus deux réflexions . [...]

[...] C Matrices orthogonales et automorphismes orthogonaux Proposition 26 Soient P Mn et E un espace euclidien de dimension n. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. P O ; 2. Pour tout bon B de E l'endo de E de matrice P dans B est orthogonal P SO ; 3. Il existe une bon B de E tel que l'endo de E de matrice P dans B soit orthogonal. Mathématiques chapitre : géométrie euclidienne page 20 Remarque En particulier P orthogonale ssi l'endomorphisme canonique (de Rn ) associé à P est un automorphisme orthogonal de Rn euclidien canonique ; puisque la base can est orthonormale pour le ps canonique (note : cela rejoint bien que les colonnes forment une bon de eucl can) Via le choix d'une base orthonormale B de E les groupes O et O sont isomorphes : O u O MB 3. [...]

[...] Que vaut det u ? Quel est le nombre 2 de réflexions apparaissant dans une décomposition de u en produit de réflexions ? Que vaut dim ker idE2 ) ? Quelle propriété particulière possède la matrice de u dans une bon ? Comment déterminer les éléments caractéristiques de u ? 9. Pourquoi u O (E2 ) est-il encadré plus haut ? idE2 rotation = idE2 réflexion Ê3 est muni du produit scalaire canonique et est orienté par la base canonique. [...]

[...] Soient f et g continues sur telles que : , f g 1. Montrer que f et g sont toutes deux à valeurs strictement positives ou f et g sont toutes deux à valeurs 2 strictement négatives. Montrer que f g En déduire la valeur de inf f , f C 0 , ) . f 4. Soit E un -espace vectoriel et un produit scalaire sur de norme associée . Soit n , et x xn des vecteurs de E. [...]

[...] Si f L alors MB ) = (ej ) ei : (e1 ) e1 ) (e1 ) e2 ) . (e2 ) e1 ) (e2 ) e2 ) . (en ) e1 ) (en ) e2 ) . (en ) en ) (e1 ) en ) (e2 ) en ) Remarque 10 Les calculs en base orthonormale sont, comme on vient de le voir, fortement simplifiés. Attention lorsque la base n'est pas orthonormale, ça ne marche plus. Exemples 10 Dans Rn euclidien canonique, la base canonique est orthonormale. On retombe sur nos pieds cf l'écriture du produit scalaire. [...]