Cours de mathématiques : la géométrie élémentaire de l'espace

Résumé du document

Cours de mathématiques sur la géométrie élémentaire de l'espace (niveau Terminale scientifique / début études supérieures).

Extraits

[...] Propriétés : Le produit mixte est antisymétrique, l'échange de deux vecteurs parmi et change le signe de . Par exemple, pour tous vecteurs et , Soit et des vecteurs , et des réels, on a : , et traduisent le fait que le produit mixte est trilinéaire. (conséquence de la bilinéarité du produit scalaire et du prduit vectoriel) Expression du produit mixte dans une base orthonormale directe Soit , on a : d'où complément : règle de Sarrus pour le calcul d'un déterminant d'ordre 3. [...]

[...] Le triplet est une base de l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les droites , et sont appelées les axes du repère et notées également , et . Le point a pour coordonnées (cartésiennes) dans le repère signifie ce que l'on note . Lorsque les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux, le repère est dit orthonormal. est un repère orthonormal signifie et . On emploiera ce type de repère dans les questions faisant intervenir des distances et des angles. [...]

[...] Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Règles de calcul Pour tous vecteurs , on a : , lorsque , on parle de carré scalaire on le note , on a : Soit et des vecteurs , un réel, on a : et On en déduit : , et Identités remarquables analogues à celles qui existent dans les ensembles de nombres réels ou complexes. Expression dans une base orthonormale Soit une base orthonormale Lorsque , on a : on en déduit l'expression de la norme d'un vecteur : et la distance de deux points de l'espace en fonction de leurs coordonnées dans un repère orthonormé : Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormale Soit une base orthonormale , le vecteur Changement de base orthonormale Soient et deux bases orthonormales , les coordonnées de dans la base sont données par , les produits scalaires figurant dans cette formule sont calculés dans la base orthonormale , aussi on aura les coordonnées dans la nouvelle base en fonctions de celles dans l'ancienne base. [...]

[...] Il faut noter que l'orientation de l'espace n'induit pas d'orientation particulière d'un plan de cet espace. Pour orienter un plan de l'espace, on oriente une droite orthogonale au plan , soit un vecteur unitaire de ( en est un autre); lorsque la droite est orientée par , une base orthonormale de sera dite directe lorsque est une base orthonormale directe de l'espace. B : Coordonnées cylindriques L'espace est muni d'un repère orthonormal direct (en abrégé r.o.n.d.) . On oriente le plan par le vecteur . [...]

[...] On appelle déplacement toute isométrie qui conserve les angles orientés. Exemples : les translations et les rotations sont des déplacements, les réflexions ( symétries orthogonales par rapport à un plan) ne sont pas des déplacements (car, par une réflexion, tout angle orienté est transformé en son opposé). IV Déterminant ou produit mixte A : Produit mixte L'espace étant orienté règle du tire-bouchon on appelle produit mixte ou déterminant des trois vecteurs , et le nombre réel que l'on note également . [...]