La géométrie élémentaire du plan

Résumé du document

Cours sur la géométrie élémentaire du plan, avec les formules mathématiques nécessaires à l'application des principes de géométrie expliqués.

Extraits

[...] Sinon, elle a pour équation dans le repère , c'est-à- dire en coordonnées polaires : . Une équation polaire de , droite ne passant pas par l'origine, est : . Réciproquement, toute équation polaire de ce type représente une droite ne passant pas par l'origine. Application : représenter la courbe d'équation polaire : Equation polaire d'un cercle passant par l'origine du repère Soit le cercle de centre , de coordonnées polaires qui passe par l'origine. Soit un point quelconque de , de coordonnées polaires . [...]

[...] Remarque 1 : cette définition dépend de l'orientation du plan . Remarque 2 : Interprétation en termes d'aire Supposons les deux vecteurs et non colinéaires, soient trois points tels que et ; on désigne par le projeté orthogonal de sur la droite , on a : , par suite soit le double de l'aire du triangle , est égal à l'aire du parallélogramme déterminé par les vecteurs et . Antisymétrie Pour tous vecteurs non nuls, Par conséquent pour tous vecteurs , on a : , on dit que le déterminant est antisymétrique. [...]

[...] Interprétation de Soit , on a : , c'est-à-dire, D5 : Isométries du plan (étude élémentaire) On appelle isométrie du plan , toute transformation de qui conserve les distances. est une isométrie signifie Théorème (admis) Toute isométrie du plan est une translation ou une rotation ou une réflexion ou la composée d'une translation et d'une réflexion. Propriétés géométriques Une isométrie transforme une droite en une droite, un segment en un segment (de même longueur) et un cercle en un cercle (de même rayon). Une isométrie conserve les distances, le parallélisme, l'orthogonalité, les barycentres et les angles géométriques. [...]

[...] On note le repère . Le couple est une base de l'ensemble des vecteurs du plan. Les droites et sont appelées les axes du repère et notées également et . Le point a pour coordonnées (cartésiennes) dans le repère signifie ce que l'on note . D2 : Repère orthonormal direct Lorsque les vecteurs de base du repère sont unitaires et orthogonaux, le repère est dit orthonormal. est un repère orthonormal signifie et . En général, on convient de dire que le repère est direct si l'on tourne de vers dans le sens trigonométrique direct c'est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (usuelle En abrégé r.o.n.d. [...]

[...] définie par deux points distincts Le plan est rapporté à un repère , et désignent deux points distincts du plan, la droite est la droite passant par le point et dirigée par le vecteur . Un point de coordonnées appartient à si et seulement si il existe un réel tel que , soit : Soit un point du plan de coordonnées . définie par un point et un vecteur normal Le plan est rapporté à un repère , désigne la droite passant par le point et orthogonale au vecteur non nul , ce vecteur se nomme vecteur normal à . [...]