Généralités sur le calcul des probabilités

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Généralités sur le calcul des probabilités, probabilités conditionnelles, probabilités composées, probabilités simples, loi binominale, expériences aléatoires, équiprobabilité, arbre de décision

Résumé du document

L'origine des probabilités provient des jeux de hasard avec une infinité de résultats possibles. Si tous les résultats possibles ont la même chance de se réaliser (équiprobabilité), alors le calcul est le nombre de résultats favorables divisible par le nombre de résultats possibles. Concernant les expériences aléatoires, on ne peut pas prévoir le résultat, il dépend du hasard. Par exemple le lancé de dés, ou le tirage du loto.

Extraits

[...] ▪ Une variable aléatoire continue peut prendre toutes les valeurs de ℝ ou d'un intervalle de ℝ Espérance L'espérance de X est le réel noté défini par : 2. Variance La variance de X est le réel noté défini par : = 3. Ecart type L'écart type de X est le réel noté σ(X) défini par : 4. Changement de variable de type affine A partir d'une variable X on peut créer d'autres variables aléatoires (aX ; X + b ; aX + b). Si on connait les espérance, variance et écart type de on peut calculer celles de ces nouvelles variables. [...]

[...] Ex : lancer de dé, tirage du Loto ▪ Ensemble des résultats possibles = univers Ω nombre d'éléments dans l'univers Ω = cardΩ Ex : lancer de dé : Ω = { cardΩ = 6 lancer de 2 dé : cardΩ : 6 x 6 = 36 ▪ Evénements aléatoire : Avant d'effectuer une expérience aléatoire, question posée quant au futur résultat. Le résultat permet de répondre par oui ou par non. Ex : Point du dé supérieur ou égal à 4 ? Eléments de l'univers Ω donnant comme réponde oui : A Eléments de l'univers Ω donnant comme réponde non : = événement contraire à A ▪ Evénements élémentaires : Partie contenant un seul élément de l'ensemble Ω. Ex : Le dé lancé marquera-t-il 5 ? [...]

[...] Evènements indépendants ▪ A et B sont deux évènements de probabilités non nulles. B est indépendant de A si et seulement si : ▪ Formulations équivalentes de l'indépendance III. Théorème de Bayes Un arbre de décision fait apparaître une succession de branches avec : - Des décisions : des choix possibles qui s'offrent au décideur - Des événements dont le décideur n'est pas maître et qui peuvent survenir avec une certaine probabilité. Sur un arbre de décision sont mentionnés, en respectant l'ordre chronologique : - Toutes les décisions que peut prendre le décideur avec le gain ou la perte moyenne qu'elles pourront engendrer Pour calculer le gain moyen de chaque décision, on utilise l'espérance. [...]

[...] ▪ ▪ k : nombre résultats possibles ; n : nombre événements 3. Formule des probabilités totales Soit deux événements A et B liés à une même épreuve aléatoire. La formule des probabilités totales établit la probabilité d'avoir l'un des deux événements réalisés. P(A U = + – P(A ∩ Probabilités conditionnelles : A et B sont deux évènements et A n'est pas l'événement impossible : P(A)≠0. La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé (probabilité conditionnelle de B sous l'hypothèse est notée : . [...]

[...] A = Un évènement aléatoire est la réunion de certains événements élémentaires. ▪ Evénement certain : Evénement étant toujours réalisé. Il est représenté par l'ensemble Ω. Evénement certains, P = 1. ▪ Evénement impossible : Evénement n'étant jamais réalisé. Il est représenté par l'ensemble ∅. Evénement impossible, P = 0. ▪ Evénements incompatibles : Evénements ne pouvant pas se réaliser en même temps : A∩B = ∅ ▪ Intersection, réunion et inclusion d'événements - Conjonction de A et B : événement qui se réalise lorsque A et B se réalisent simultanément. [...]