Cours de Maths prépa MPSI sur les fractions rationnelles

Résumé du document

On a vu en particulier que cet Anneau est commutatif et intègre, au sens qu'un produit ne peut y être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau.

Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle configuration d'étendre cette structure d'Anneau en une structure de corps commutatif appelé corps des fractions de l'Anneau en question.
Ce processus permet par exemple de construire le corps classique des nombres rationnels à partir de l'Anneau des entiers relatifs (...)

Extraits

[...] Fraction rationnelle. Soit un couple d'éléments de avec B non identiquement nul. On appelle fraction rationnelle de représentant l'ensemble formé par tous les couples de polynômes à coefficients dans K tels que A.Q=B.P et Q non identiquement nul. On adoptera l'écriture pour représenter cette fraction. Une fraction rationnelle apparaît donc comme un collectif défini à partir d'un couple initial. Remarquons alors que si est un couple tel que A.D=B.C et D non nul, la fraction rationnelle de représentant coïncide exactement avec la fraction de représentant En effet, si C.Q=D.P on en déduit en multipliant par P : B.C.Q=B.D.P , puis A.D.Q=B.D.P d'après la relation liant à et enfin A.Q=B.P en simplifiant par D non nul, vu l'intégrité de K[X]. [...]

[...] , D'où pour tout entier n(2 : La dérivée d'ordre n est donc donnée par la formule suivante : La fraction admet deux pôles simples complexes conjugués, ei( et e-i(. La décomposition est élémentaire : Ainsi la dérivée d'ordre n s'exprime par : 16. Les dérivées successives de 1-X-X s'annulent à partir de l'ordre 3. La formule de Leibniz appliquée au produit donne donc une expression de la dérivée d'ordre n réduite pour n à : Soit après simplifications : Or par définition de la fraction le produit étudié est constant égal à 1. [...]

[...] Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que de fractions de ce type, obtenues après division Euclidienne éventuelle. Elements simples relatifs aux pôles. Nous supposons ici la fraction F définie par un représentant de dénominateur scindé, c'est à dire du type , avec de plus : degré(A)( r1+ .+rn _ Envisageons d'abord le cas d'un pôle unique a1. En appliquant la formule de Taylor en ce point à l'ordre r1-1 au numérateur de degré strictement inférieur à r1 on obtient la relation : En divisant par , il apparaît la décomposition : _ Nous allons généraliser ce processus par récurrence sur le nombre de pôles n. [...]

[...] Décomposer sur les fractions 10. Décomposer en éléments simples sur la fraction puis en déduire le calcul des expressions suivantes : pour n entier quelconque. pour n entier quelconque Décomposer dans la fraction puis en déduire les expressions de : pour n entier . pour n entier non nul On considère la fraction : Décomposer en éléments simples dans En déduire une expression simplifiée de pour n entier non nul, puis la limite de la somme précédente lorsque n tend vers + ( On considère la fraction : Décomposer en éléments simples sur En déduire la valeur de Montrer que pour tout entier n : 14. [...]

[...] On vérifie facilement que cette valeur est effectivement racine double : On en déduit P'(X)=8(X- , puis : 7. Si x est racine multiple du dénominateur D(X)=aX3-3X+a+1, x doit être nécessairement racine de D'(X)=3aX²-3, donc vérifier ax²=1. En faisant intervenir cette relation dans l'égalité on en déduit alors 2x=a+1. La seule valeur possible est donc qui sera effectivement racine double si ou encore si a3+2a²+a-4=0. Vu la factorisation évidente en il apparaît que 1 est la seule valeur réelle possible pour a. [...]