Les fractions rationnelles - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les fractions rationnelles

Extraits

[...] On peut alors écrire avec G fraction rationnelle définie comme quotient de C par B , donc n'admettant a ni pour zéro, ni pour pôle. Réciproquement considérons une fraction fraction n'admettant a ni pour zéro, ni pour pôle et supposée écrite ici sous forme irréductible. Si (A1,B1) est un représentant irréductible de on sait qu'il existe un polynôme ( tel que : et Puisque a n'est pas racine de on en déduit que est non nul et que par suite a est racine de A1, d'ordre nécessairement n car a n'est pas non plus racine de Ainsi a est bien zéro d'ordre n de F au sens premier. [...]

[...] Soit F une fraction rationnelle n'admettant pas a pour pôle. Pour tout entier la différence est une fraction rationnelle dont toutes les dérivées successives jusqu'à l'ordre n s'annulent au point a. D'après ce qui précède, a est donc zéro d'ordre au moins n+1 de F. Il existe donc une fraction G n'admettant pas a pour pôle, et telle que Ainsi : avec G fraction rationnelle définie en a En particulier pour et pour a=0 on obtient le développement classique : DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES. [...]

[...] En effet si et sont deux représentants irréductibles d'une même fraction il existe alors un polynôme ( tel que C=(.A et D=(.B mais également un polynôme ( tel que A=(.C et B=(.D. On en déduit B=(.(.B et par suite puisque B non nul. Nécessairement ( et ( sont donc des polynômes de degré 0 donc constants. zéros et pôles d'une fraction rationnelle. La remarque ci-dessus permet de définir sans ambiguïté les deux notions suivantes : Si avec irréductible, on appelle zéro de F d'ordre toute racine d'ordre n du numérateur A et pôle d'ordre s de toute racine d'ordre s du dénominateur B. [...]

[...] _ Le neutre pour l'addition est la fraction dite nulle, de représentant 1). _ La symétrique pour la somme de est la fraction - appelée opposée de F. _ Le neutre pour le produit est la fraction de représentant 1). _ La symétrique pour le produit de la fraction non nulle est la fraction appelée inverse de F et notée conformément aux notations multiplicatives usuelles. Plongement des polynômes dans le corps des fractions. Le corps que l'on vient de définir contient en fait une trace de l'Anneau des polynômes situé à la base de la construction. [...]

[...] Soit F une fraction du type , le scalaire a n'étant ni pôle ni zéro de G. La formule de Leibniz appliquée au produit précédent donne l'expression de la dérivée d'ordre q quelconque de F : a étant racine d'ordre n de il est clair que les dérivées successives de cette puissance vont s'annuler en a jusqu'à l'ordre n-1. On en déduit immédiatement, puisque a n'est pas pôle de que les dérivées successives de F vont s'annuler en a jusqu'à l'ordre n-1. [...]