Fractions rationnelles

Résumé du document

L'anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K infini et de caractéristique nulle est commutatif et intègre, au sens qu'un produit ne peut y être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet anneau.

Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle configuration d'étendre cette structure d'anneau en une structure de corps commutatif appelé corps des fractions de l'anneau en question.
Ce processus permet par exemple de construire le corps classique des nombres rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs.
Appliqué à notre anneau K[X] des polynômes sur K, il va nous conduire au corps des fractions rationnelles à coefficients dans K que nous noterons K(X).

On se propose dans ce nouveau chapitre d'analyser le procédé de construction et les commodités apportées à la théorie par l'introduction de cette extension.

Nous terminerons le cours par 20 exercices corrigés.

Extraits

[...] Dans ce qui suit nous ne nous occuperons que de fractions de ce type, obtenues après division Euclidienne éventuelle. α α = E1 + 1 β β1 Elements simples relatifs aux pôles. Nous supposons ici la fraction F définie par un représentant de dénominateur scindé, c'est à X ) dire du type F ( X ) = , avec de plus : degré(A) [...]

[...] Fractions rationnelles FRACTIONS RATIONNELLES. GENERALITES. Nous avons étudié dans le chapitre précédent l'Anneau des polynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps commutatif K infini et de caractéristique nulle. On a vu en particulier que cet Anneau est commutatif et intègre, au sens qu'un produit ne peut y être nul que si au moins un de ses facteurs est égal au zéro de cet Anneau. Il existe un processus algébrique standard permettant dans une telle configuration d'étendre cette structure d'Anneau en une structure de corps commutatif appelé corps des fractions de l'Anneau en question. [...]

[...] (On pourra procéder par divisions Euclidiennes successives) 9. On considère pour n entier . ' Décomposer sur les fractions 10. Décomposer en éléments simples sur la fraction 1 puis en déduire le X ( X + calcul des expressions suivantes : x)dx pour n entier quelconque. F(k ) pour n entier quelconque. k k 11. [...]

[...] Cas particulier des pôles simples. Si a est pôle d'ordre 1 de la fraction F ( X ) = résume alors à un seul terme du type défini par la formule α = X ) , la partie polaire relative à a se ( X X ) α avec, conformément à l'étude précédente, α X .Ce coefficient appelé aussi résidu de la fraction F au pôle a peut se déterminer autrement si la factorisation du dénominateur est délicate. Il suffit de remarquer que si on obtient par dérivation : D'(X)=B(X)+(X-a)B'(X). [...]

[...] Si on considère une fraction F à coefficients purement réels, on pourra donc commencer par la décomposer en éléments simples dans C(X). Examinons les éléments de cette décomposition. _ La partie entière, quotient d'une division Euclidienne mettant en jeu des polynômes à coefficients réels, sera donc aussi à coefficients réels. _ Les parties polaires relatives aux pôles réels de F ne font apparaître également que des coefficients réels. En effet leur mode de calcul fait principalement intervenir des valeurs de dérivées successives de fractions à coefficients réels en des nombres réels. [...]