Fonctions à une variable réel

Thèmes abordés

Fonctions, variable réel, théorème rolle, TVI, polynômiales

Résumé du document

• Les fonctions polynômiales sont continues
sur IR
• Les fonctions rationnelles ; racines nèmes ;
puissances ; logarithmiques et exponentielles sont continues sur leurs domaines de définition

Extraits

[...] on doit avoir : ; racine paire (2x (2x 0 et (2x 0 (2x > 0 2x 0 x > 2 Df Exemples 5. Fonctions logarithmiques : f = ; ln désigne le logarithme népérien Df = \ > Exemple : f ( x ) = x 2 ) 2 Df = x > 0 or ; x 2 = x x ) , tableau des signes 7 03/11/2010 Fonctions logarithmiques Exemple : x 1-x 1+x 1-x2 f ( x ) = x 2 ) + + + + - + - 0 Ainsi : Df Exemple 2 : f ( x ) = 2 x + x Df = \ (2x + > Tableau des signes : x 2x+7 x-5 Produit - 0 + 5 + + + + 0 Donc : Df / 8 03/11/2010 Exemples 6. [...]

[...] f est continue à gauche de b lorsque : lim f ( x ) = f ) x f est continue à droite de a lorsque : lim f ( x ) = f ) 12 03/11/2010 Continuité sur un intervalle ; à droite de a à gauche de b a x b Exemples 1. f = x ;si 2 x ;si ; f est continue sur l'intervalle ; car : f est continue en tout point de l'intervalle ; (en particulier au point f est continue a droite de 0 et à gauche de 03/11/2010 Exemples 2. [...]

[...] Fonctions racines (nèmes) : f = n ; n est un entier naturel non nul n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; . A retenir : Si n est pair : Df = \ Si n est impair : Df = Du Fonctions racines (nèmes) Exemples : racine carrée : On doit avoir : f = 2x 2x 0 x 2 Df f = 3 2x racine cubique : = 2x définie quelque soit x donc Df = Du = IR 5 03/11/2010 Exemples 4. [...]

[...] Pourquoi la dérivée d'une constante est égale à 0 ? On pose : f ( x ) = C , soit x 0 IR I x0 IR f x 0 ) = lim f ) f ) 0 = lim C C = 0 x Ainsi : x 0 IR , f x 0 ) = 0 IR , Ou encore (en notant x au lieu de x0) : f x ) = 03/11/2010 Exemples 2. Pourquoi : (ax2 + bx + 2ax + b x 0 IR I x0 On pose : f ( x ) = ax 2 + bx + c , soit f x 0 ) = lim f ) f ) 0 Donc : = lim 0 (ax 2 + bx + (ax 2 + bx + = lim a 2 x 2 ) + b(x x ) 0 = lim a ( x + x 0 ) + b = a ( x 0 + x 0 ) + b = 2ax 0 + b 21 03/11/2010 Ainsi : x IR , f x ) = 2ax + b Ou encore (en notant x au lieu de x0) : IR , f x ) = 2ax + b finalement : f = ax2 + bx + c f = 2ax + b 3. [...]

[...] Fonctions à une variable réel 3. Continuité I IR x I f IR f ) f est une fonction définie sur un intervalle I de IR 9 03/11/ Continuité Continuité en un point a : a droite de a a gauche de a a 3. Continuité Continuité en un point a : Définition : f est continue au point a lorsque : lim f = lim f = f x x + limite à droite = limite à gauche = image de a 10 03/11/2010 Exemples 1. [...]