Les fonctions à valeurs complexes

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Cours de maths niveau prépa - Les fonctions à valeurs complexes

Extraits

[...] Ainsi le théorème des valeurs intermédiaires, de Rolle, des accroissements finis, ne fonctionnent plus. Intégration. Définition. On dira que la fonction f à valeurs complexes est intégrable Riemann sur l'intervalle si et seulement si ses deux fonctions composantes u et v sont intégrables sur cet intervalle. On posera alors Ici aussi la généralisation conserve l'essentiel des propriétés établies pour l'intégration des fonctions à valeur réelle. On vérifiera sans difficultés : _ La C linéarité de l'application f ( définie sur le C espace des fonctions intégrables Riemann sur b]. [...]

[...] Pour l'hérédité, posons .Des hypothèses xn et on déduit aussitôt ; Comme 0 ( q ce qui est contraire à la convergence supposée. Une suite d'itérés par f ne peut donc converger ici vers l que si elle est stationnaire, c'est à dire s'il existe un entier n0 pour lequel . Dans ce cas on aura xn=l pour tout entier n supérieur ou égal à n. FONCTIONS A VALEURS COMPLEXES. Cadre d'étude et notations. On considérera dans toute la suite des fonctions d'une variable exclusivement réelle et à valeurs dans le corps C des complexes. [...]

[...] _ Toute fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point. _ La somme, le produit, le quotient de deux fonctions continues en un point sont aussi continues en ce point. _ La somme, le produit, le quotient de deux fonctions dérivables en un point sont aussi dérivables en ce point suivant les formules établies dans le cas réel. _ La formule de Leibniz donnant la dérivée d'ordre n d'un produit s'applique sous les mêmes hypothèses de dérivabilité dans le cas de fonctions à valeurs complexes. [...]

[...] Ainsi, concernant la conjugaison : Mais aussi, si ( et ( sont à valeurs réelles : _ Le théorème de composition s'étend aussi à l'identique, sous réserve que le changement de variable intervenant, t ', soit de type exclusivement réel (variable et image dans On a alors pour un tel schéma de composition : avec J ( I ( R (Utiliser la définition pour la justification ) _ Enfin insistons sur le fait que les théorèmes d'encadrement et de monotonie n'ont bien sûr plus de sens pour des fonctions à valeurs complexes. Les encadrements éventuels s'effectueront sur les modules. On a par exemple encore le résultat fondamental suivant : Continuité et dérivabilité. [...]

[...] On conclût avec la règle du produit qui nous donne La suite étudiée est donc convergente vers D'après la formule du binôme, Il vient donc Rappelons que pour tout ( complexe, la dérivée d'ordre n de la fonction x est (ne(x On en déduit par linéarité l'expression de la dérivée d'ordre n quelconque sur R entier, soit : Décomposons la fraction dans : Rappelons que pour tout complexe la dérivée d'ordre n de la fonction x ( est définie par x ( Par linéarité, la dérivée d'ordre n quelconque de sera donnée sur R par la formule : La dérivée d'ordre p quelconque de x (sin(3x) est donnée par : 3psin( On peut donc dériver à l'ordre n quelconque la fonction g , grâce à la formule de Leibniz Décomposons f en produit : Chacun des deux facteurs est dérivable sur R suivant le théorème de composition. Ainsi : On obtient donc, d'après le théorème sur la dérivée d'un produit : La formule de dérivation se condense donc en : 20. Soit un complexe quelconque donné sous forme algébrique z=x+iy. _ Par définitions : , Rappelons les formules usuelles : L'expression étudiée se résume alors à Elle se simplifie donc en z ou suivant le signe de la partie réelle x du complexe z. _ . [...]