Fonctions réelles d'une variable réelle - publié le 23/08/2010

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les fonctions réelles d'une variable réelle.

Extraits

[...] a c c b Théorème Formule de Taylor Soit f une fonction 4 fois dérivables sur un intervalle I. Soit a et b deux nombres distincts de I. Il existe ; tel que : & ' & ' & ' & ' Démonstration On considère la fonction g définie sur I par : ' ' ' ' ' ' ' ' 0. [...]

[...] Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et qui ne s'annule pas sur cet intervalle. Soit x0 I . Si x varie de α% à partir de x alors f varie de E ( f , x0 ) Attention : ceci est une approximation et suppose de α% est proche de 0. Démonstration f est dérivable en x0. D'après la propriété d'approximation, pour h voisin de on peut écrire : & G & Posons & & J H%. [...]

[...] Développements usuels Les fonctions ci-dessous sont indéfiniment dérivables sur un intervalle ouvert I contenant 0. On peut donc écrire : 1 & & & + & - & - avec lim 1 & & & + & - & - avec lim 1 ' & ' + & - & - avec lim 0. [...]

[...] Théorème 2 Soit f une fonction définie et deux fois dérivables sur un intervalle I. Soit I. Si f admet un maximum local en a alors Si f admet un minimum local en a alors # 0. Démonstration Supposons que f admette un maximum local en a. Il existe un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant a tel que : % Soit h tel que & 8 R & & & & avec 0. [...]

[...] La fonction exponentielle est strictement convexe. Théorème 3 Soit f une fonction définie, dérivable et convexe sur un intervalle ouvert I. Soit 0 si et seulement si f admet un minimum global sur I en a. Démonstration D'après le théorème 1 du paragraphe si f admet un minimum global sur I en alors 0. Supposons 0. D'après le théorème on peut écrire : ' % Exemple On considère la fonction définie sur l'intervalle ; par ' & 1. [...]