Fonctions réelles de deux variables réelles - publié le 23/08/2010

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les fonctions réelles de deux variables réelles.

Extraits

[...] Exemples Lignes de niveaux de f définie par f ( y ) = x 2 + y 2 : Lignes de niveaux de g définie par g ( y ) = x 2 y 2 : Lignes de niveaux de h définie par y ) = 2 xy + y 3 : 2. Dérivées partielles d'ordre 1 Définition 1 Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs dans IR. Posons y = b où b est un nombre réel fixé. On obtient : IR, f ( y ) = f ( b ) = ϕ ) . [...]

[...] Définition 2 Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs dans IR. Soit ; . Si les dérivées partielles de f existent en ; on dit que f est différentiable en ; Exemples f ( y ) = 2 x 5 y 3 3 x 2 y + 5 y 4 + 4 y ) = 10 x 4 y 3 6 xy et y ) = 6 x 5 y 2 3x 2 + 20 y ( f ( y ) = 4 x 2 5 y ) 3 y ) = 24 x 4 x 2 5 y ( ) 2 et y ) = x 2 5 y ( ) f ( y ) = x 3 + 4 xy 2 + 3 y y ) = x 2 + 4 y 2 et y ) = 8 xy + f ( y ) = x y avec x IR et y y ) = 3x et y ) = 3x 1 y 2 = 3x y 10 y f ( y ) = 5 pour tous réels x et y tels que 2 x 3 y 2 2x 3 y y ) = 2x 3y ( ) 2 et y ) = 30 y 2 2x 3y ( ) Définition 3 Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs dans IR. [...]

[...] Supposons que φ soit dérivable sur un intervalle I. On dit alors que f est dérivable par rapport à x sur I. Dérivée partielle de f On note y ) = f ' x y ) = ϕ ' ) . d'ordre 1 par rapport à x. Posons x = a où a est un nombre réel fixé. On obtient : IR, f y ) = f y ) = ψ ( y ) . Supposons que ψ soit dérivable sur un intervalle J. [...]

[...] ( ) R = 0 λk 1 = 0 λk = 1 ln (λ ) = 0 k = R > 0 λk 1 > 0 λk > 1 ln (λ ) > 0 k > Conclusion : les rendements d'échelle de f en ( y ) sont croissants ssi k > les rendements d'échelle de f en ( y ) sont décroissants ssi k f est homogène de degré a + b. Soit h IR . Si h Lh = . Si h > Lh est une hyperbole. ay > > TMS f ( y ) = . [...]

[...] ( y ) = 2 x ; ( y ) = 2 y ; 2 Théorème de Schwarz Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs dans IR. Soit ; . Si les fonctions 0 00 et 0 0 sont continues en ; alors : 0 00 ; 0 0 ; Remarque : dans la pratique, ce sera toujours le cas. Voir les exemples ci-dessus. Définition 2 Soit f une fonction de deux variables réelles à valeurs dans IR. Soit ; . [...]