Fonctions réelles de deux variables réelles

Thèmes abordés

Fonctions réelles, deux variables réelles, calcul différentiel, ligne de niveau, dérivée d'une somme

Résumé du document

Les applications partielles étant des fonctions réelles d'une variable réelle, on pourra bien sûr leur appliquer tous les théorèmes et techniques connus pour ce type de fonction (dont notamment les techniques de dérivation : dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient...).

Extraits

[...] Th´or`me 2.3 Si une fonction de classe C 1 admet un extremum local en un point, alors ses e e d´riv´es partielles sont nulles en ce point. e e Recherche d'extremum La recherche des extremums d'une fonction de deux variables s'effectue en plusieurs ´tapes : e 1. On commence par d´terminer la fonction est de classe C 2 et on ´tudie si le ou les points e u e la fonction n'est pas de classe C 2 sont ou ne sont pas des extremums locaux. [...]

[...] = + Interpr´tation graphique e La repr´sentation graphique d'une fonction de deux variables r´elles se fait dans R et on la e e repr´sente sur le papier ` l'aide d'une perspective. C'est l'ensemble des triplets R3 tels e a que z = f et U. C'est donc une surface. Exemple 1.3 La repr´sentation graphique de la fonction 0 : e R2 R est le plan d'´quation z = e 0 i.e. le plan “horizontal”. [...]

[...] On calcule ensuite les d´riv´es partielles d'ordre 1 et 2 de f f est de classe C e e a u 3. On cherche ensuite les points critiques de f , en posant et en r´solvant le syst`me : e e = Enfin, pour chacun de ces points, on calcule rt s2 (notation de Monge). On a alors les cas suivants : si rt s2 > 0 et r > alors f admet un minimum local en y0 si rt s2 > 0 et r [...]

[...] Extremums d'une fonction de deux variables D´finitions e D´finition 2.5 Notion d'extremum local e Soit f une fonction d´finie sur l'ouvert U de R2 et y0 ) U. e On dit que f admet un maximum local en y0 ) lorsqu'il existe un voisinage V de ce point tel que, f f y0 On dit que f admet un minimum local en y0 ) lorsqu'il existe un voisinage V de ce point tel que, f f y0 D´finition 2.6 Notations de Monge e Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert U de R2 et y0 ) U. [...]

[...] y y0 h Op´rations sur les d´riv´es partielles e e e Remarque : Les applications partielles ´tant des fonctions r´elles d'une variable r´elle, on pourra e e e bien sˆr leur appliquer tous les th´or`mes et techniques connus pour ce type de fonction (dont u e e notamment les techniques de d´rivation : d´riv´e d'une somme, d'un produit, d'un quotient . e e e Exemple 2.2 En reprenant encore les notations de l'exemple on a : = 2x + y et = x + 2y. 2 Remarque : Les d´riv´es partielles de f sont encore des fonctions de deux variables r´elles. [...]