Généralités sur les fonctions : les fonctions trinômes

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée sur les fonctions trinômes comprenant un rappel des bases, la composition de deux foncions, la parité et la périodicité d'une fonction, ainsi qu'une partie sur la résolution des polynômes du second degré.

Extraits

[...] Somme de deux fonctions : La fonction f + g est définie sur l'intervalle I par f + g : x + g = + Si f et g sont toutes les deux strictement croissantes ( respectivement strictement décroissantes ) sur un intervalle alors f + g sera strictement croissante ( respectivement strictement décroissante ) . Sinon on ne pourra pas conclure aussi facilement ! Exemple : Sur [ 0 ; + [ , la fonction carré est strictement croissante et la fonction affine f telle que f = 2x + 3 l'est aussi donc la fonction g telle que = + 2x 3 est strictement croissante sur [ 0 ; + [ comme somme de deux fonctions strictement croissantes. [...]

[...] 2e cas : = 0 Alors f = + b et f s'annule pour x = b 2a Le signe de f est donc celui de a pour tout réel x différent de b . 2a Exemple : Donner le signe de f = x + f a une racine x0 = = = = a=1 donc f est positif pour tout réel x différent de x = 0. f (x0 ) = 0 3e cas : > 0 Alors f ) a deux racines réelles distinctes. [...]

[...] 4ac est positif alors on a : b 2 a + b x + c = a + En effet si si > 0 alors Remarque : b b = a + + 2a 2a 2a 2a b b + = a 2a 2a x1 + x2 = b a et x1 x2 = c a Utilisation de la forme canonique du trinôme : Elle sert à trouver la forme factorisée sans avoir recours aux formules, mais elle sert surtout à étudier la fonction trinôme à partir de la fonction carré , en utilisant les fonctions composées ou les fonctions associées. En effet f = a ( x α + β. f est donc une fonction composée. [...]

[...] Comment obtenir cette forme canonique ? Soit un trinôme f = a + b x + c On factorise le coefficient du terme de second degré On considère l'expression + b b 2 + x + = + a c b f = a + x + . a b x comme le début d'un carré. a b 2 b . donc + x = + a On reporte cette expression dans f b b 2 c c f = a + x + = a + + = a a + b Tout trinôme f = a + b x + c ( a 0 ) peut s'écrire sous la forme a [ ( x α + β ] . [...]

[...] Df = [ 3 ; + [ ; Dg = IR \ { 1 } donc il faut que f 1 avec x 3 f 1 x + 3 1 x 2 donc Dg f = [ 3 ; 2 [ ] 2 ; + [ Application : Soit h une fonction définie sur IR par = ( 5x 3 Décomposer h en deux fonctions de référence. h : x 5x 3 ( 5x 3 h est donc la composée d'une fonction affine f telle que f = 5x 3 et de la fonction carré g. On a = g [ f ] donc h = g f . Sens de variation d'une fonction composée : La composée de deux fonctions croissantes est croissante. La composée de deux fonctions décroissantes est croissante. La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante. [...]