Intégrales de fonctions intégrables à valeurs dans C et intégrales impropres

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les fonctions intégrables avec des exemples et quelques exercices de synthèses.

Extraits

[...] t sin t 0 t sin t π Si on v´erifie que la fonction f : t f = est de classe C 1 sur le segment on t sin t 2 peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue pour conclure. Il suffit pour ce faire de calculer un d´eveloppement limit´e de f et un d´eveloppement limit´e de f 0 au voisinage de 0. x3 x3 + x3 ε1 donc x sin x = x3 ε1 et par cons´equent On sait que sin x = x x x sin d'autre part x sin x2 donc 0 x sin x x x sin x ainsi f est prolongeable par continuit´e en 0 par f = 0. [...]

[...] En effet Exemple 1 : l'int´egrale tα pour tout α > la fonction u : t = α est d´ecroissante et tend vers 0 quand t tend t vers Pour tout B A Z B Z B B cos t dt = [sin t]A = sin B sin A donc A A Z Exemple 2 : On montre de la mˆeme fa¸con que l'int´egrale 1 α > sin(t) dt converge pour tout tα Exercices de synth` ese Enonc´ es Exercice Montrer que la fonction x 2. Montrer que la fonction x ln x est int´egrable sur et calculer l'int´egrale 1 + x2 Z ln t dt + t ln x est int´egrable sur et calculer l'int´egrale + x2 Z ln t dt + 1)2 0 On remarquera que Z J ln 0 (x2 x dx. + 1)2 Exercice 2 sin x est int´egrable sur si et seulement si β > 1. [...]

[...] Z Z est Arctan3x Arctanx f f On a 3 = dx = dx avec f = Arctanx. x x f est continue sur De plus, f = 0 et lim f = donc d'apr`es la question l'int´egrale impropre I3 converge et est ´egale ln 3. Z Z e f f On a 4 = dx = dx avec f = . x x f est continue sur De plus, f = 1 et lim f = donc d'apr`es la question b . [...]

[...] 1 dt 1 Exercice 9 Soit f : R une fonction continue. On pose pour tout Z f f = dt. t 0 Z f On suppose que l'int´egrale impropre dt converge. Montrer que l'int´egrale impropre t 0 b converge et que = ln f a On suppose que lim f = L existe et est finie. Montrer que l'int´egrale converge b et que = ln L). a Indication : Etablir que pour tout Z y Z bx Z by f f f f dt = dv. [...]

[...] On remarquera que pour sin x sin2 x = En int´egrant par parties, ´etablir que pour tout β > 0 Z Z sin t cos t dt = cos 1 + β dt. β t tβ+ Z sin t En d´eduire que l'int´egrale impropre dt converge pour tout β > 0. tβ 1 Z (n+1)π sin t dt ne tend pas vers 0. En 3. V´erifier que pour tout β la suite de terme g´en´eral β t nπ Z sin t d´eduire que l'int´egrale impropre dt diverge si β 0. tβ Soit λ λ 4.1 Pour quelles valeurs de λ, la fonction x sin(x Z ) est-elle int´egrable sur ? 1. [...]