Les principes fondamentaux des fonctions équivalents

Résumé du document

Cours de Mathématiques sur les principes fondamentaux des fonctions équivalents avec des explications claires, des exemples et des exercices pour comprendre au mieux les bases de cette notion.

Extraits

[...] lim cos arctan x ; x sin2 x (ex ln(1 + 3. lim ; cos x x2 + x x ; 4. lim x tan x 2. lim lim (4x 3x + sin tan x Exercice résolu Soient f et g deux fonctions à valeurs strictement positives telles que f g Cela entraîne-t-il ln f ln g ? 2. On suppose lim f = l avec l Montrer que ln f ln g Calculer x0 lim sin x tan x . [...]

[...] Si la fonction f est dérivable au point x0 i.e. lim ,x6=x0 et si f 0 (x0 ) on a alors f f (x0 ) x0 f f (x0 ) 0 = f (x0 ) existe et est nie x x0 x0 0 (x0 Exemples : ex e0 ln x ln 1 x En appliquant ce résultat, on obtient les équivalents classiques suivants sin x 0 + x)α 1 0 ln(1 + αx, 0 arctan x tan x Cas des fonctions polynômiales : Si P = de degré n alors P an xn quand x n X 0 ln x 1 arcsin x x 0 ex 1 0 x. [...]

[...] ln(e + ; ln(e + 6. x ; arctan(x2 ) x2 cos x ; 1 cos x 7. xα x)β où α et β sont deux réels donnés. Exercice 2 Soit β > déterminer un équivalent de la fonction x et au voisinage de Exercice 3 Déterminer, quand x un équivalent simple de e x e x+1 ; x x + ex 1 au voisinage de 0 xβ ex Exercice 4 En n'utilisant que les équivalents, déterminer 1 cos x ; tan2 x 1. [...]

[...] Un contre-exemple est fourni par f = x2 et = x au voisinage de x0 = 1. Nous avons bien f mais ln f = 2 ln g(x). Les fonctions ln f et ln g ne sont donc pas équivalentes au voisinage de Nous avons = + ε(x))f avec lim ε(x) = 0 (nous avons donc aussi lim g = même x dans le cas où l = Alors ln f + ln(1 + ln(1 + ln = ln f ln f ln f (comme lim f = l ln f ne s'annule pas au voisinage de x0 Or, lim ln(1 + = 0 et x0 ln l 0 lim ln f = si l si l = . [...]

[...] : si f1 g1 et f2 g2 alors f1 f2 g1 g La propriété s'étend à un nombre ni de facteurs. De plus, si f et g > 0 et si α est réel, nous avons aussi x0 car lim = lim f α = 1α = 1. : Soit l si f g et si lim = l alors lim f = l. La réciproque de est vraie Large sauf si l = 0 ou l = comme le montre les exemples suivants : Exemple 1 : Les fonctions x f = x et x = x2 tendent vers 0 quand x tend vers f 1 = tend vers ou suivant que x tend vers ou . [...]