Fonctions et équations

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, fonctions, équations, fonction racine carrée, extremum d'un trinôme, variation d'un trinôme, racines d'un trinôme, signe d'un trinôme, tangente, distance, translation, somme de vecteur, notion de vecteur

Résumé du document

Variations d'une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de T. Soient x1 et x2 deux réels de I.
Propriété : f est strictement décroissante sur -infini ; 0
F est strictement croissante sur 0 ;+infini
La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux
Distance
Propriété : on considère un axe gradué d'origine O. Soient x et y deux réels.

Extraits

[...] On développe en distribuant 𝑎 sur les deux termes de la parenthèse. On reconnaît la forme canonique : 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 𝑒𝑡 𝛽 = 2𝑎 4𝑎 Exemple : Déterminons la forme canonique du trinôme 𝑓 𝑥 = 4𝑥 24𝑥 + 28 𝑓 𝑥 = 4𝑥 24𝑥 + 28 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 6𝑥 + 7 𝑓 𝑥 𝑥−3 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 2 3𝑥 + 3 3 + 7 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥− 𝛼 + 𝛽 avec 𝑎 = 𝛼 = 3 et 𝛽 = 𝑓 𝑥 𝑥−3 𝑥−3 Remarque : Considérons un trinôme 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝛼 + 𝛽 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 0. [...]

[...] Interprétation géométrique : Si > la parabole coupe l'axe des abscisses en 𝑥 et 𝑥 . Si = la parabole a son sommet sur l'axe des abscisses en 𝑥 . Si 0 )ou en-dessous (si a 𝟎 𝒂> 𝟎 𝒂 𝟎 𝒂 0 et 𝑎 [...]

[...] Démonstration : 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 + 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥+ 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏 𝑥 + 𝑥 + 2𝑎 2𝑎 2𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 𝑥+ + 2𝑎 2𝑎 𝑎 𝑏 𝑥+ 2𝑎 𝑏 𝑥+ 2𝑎 𝑏 𝑥+ 2𝑎 On transforme l'expression dans la parenthèse de 𝑐 + 𝑎 manière à obtenir la forme développée d'une identité remarquable (en bleu). On enlève ce qu'il faut pour que l'égalité reste vraie (en rouge). On factorise l'identité remarquable obtenue. 𝑏 𝑐 + 4𝑎 𝑎 𝑏 4𝑎𝑐 + 4𝑎 4𝑎 𝑏 4𝑎𝑐 4𝑎 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑎× 𝑥 + 𝑎× 2𝑎 4𝑎 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥+ 2𝑎 4𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥− 𝛼 On factorise par 𝑎. [...]

[...] Propriété : Le discriminant permet de déterminer les racines d'un trinôme. Signe de 𝚫 𝟎 −𝑏 𝑥 = 2𝑎 −𝑏 + 𝑥 = 2𝑎 Solutions de 𝒇 𝒙 = 𝟎 Factorisation de 𝒇 𝒙 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑥 𝟎 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝟎 −𝑏 2𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑥 Pas de solution 𝑓 𝑥 ne se factorise pas Exemple : Déterminons les racines de 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 3𝑥 + 1 On veut résoudre −𝑥 + 3𝑥 + 1 = 0 c'est-à-dire 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 = 𝑏 = 3 et 𝑐 = 1. [...]

[...] Si 𝑎 > il s'agit d'un minimum. La fonction est décroissante sur 𝛼 et croissante sur 𝛼; Si 𝑎 𝟎 𝑥 Variation de 𝑓 𝑺𝒊 𝒂 [...]