Fonctions et droites

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, fonctions, droites, fonction valeur absolue, vecteurs colinéaires, équations de droites, nombre dérivé, tangente, distance, translation, somme de vecteur, notion de vecteur

Résumé du document

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Soient x1 et x2 deux réels de I.
Propriété : f est strictement décroissante sur -infini ; 0
F est strictement croissante sur 0 ;+infini
La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux
Distance
Propriété : on considère un axe gradué d'origine O. Soient x et y deux réels.

Extraits

[...] Nous supposons pour la suite que 𝑢 et 𝑣 ne sont pas nuls. Ø Supposons que les vecteurs 𝑢(𝑥; 𝑦) et 𝑣(𝑥′; sont colinéaires. Il existe alors un réel 𝜆 tel que 𝑣 = 𝜆𝑢 donc tel que 𝑥 = 𝜆𝑥 𝑒𝑡 𝑦 = 𝜆𝑦. 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝜆𝑦 𝜆𝑥 𝑦 = 𝜆𝑥𝑦 𝜆𝑥𝑦 = 0 Ø Supposons que 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 = 0. Le vecteur 𝑢 est non nul donc 𝑥 0 𝑜𝑢 𝑦 0 ; 𝑥 Supposons que 𝑥 0 alors 𝑥𝑦 𝑥 𝑦 = 0 devient 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑥 Considérons le réel 𝜆 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝜆 = 𝑥 Il existe donc un réel 𝜆 tel que 𝑦 = 𝜆𝑦 𝑒𝑡 𝑥 = 𝜆𝑥 soit tel que 𝑣 = 𝜆𝑢. [...]

[...] Considérons deux points du plan A et B dont la direction de la droite est celle de 𝑢, le sens de A vers B est celui de 𝑢 et la longueur AB du segment 𝐴𝐵 est la norme de 𝑢. On dit que le vecteur 𝐴𝐵 est un représentant du vecteur 𝑢. Deux vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme. Somme de vecteurs En enchainant les translations de vecteurs 𝑢 et 𝑣, on définit une nouvelle translation dont le vecteur associé est appelé somme des vecteurs 𝑢 et 𝑣 et noté 𝑢 + 𝑣. [...]

[...] Définitions : 𝒇 𝒂+ 𝒉 𝒇 𝒂 Le taux de variation de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ est le rapport : 𝒉 Si le taux de variation tend vers une limite finie quand ℎ tend vers on dit que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑎. Cette limite est appelée nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎. Elle est notée 𝒇′(𝒂). 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 Remarque : 𝒇 𝒂+ 𝒉 𝒇 𝒂 = 𝒇 𝒂 𝒉 Le nombre dérivé 𝑓′(𝑎) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de 𝑓 au point d'abscisse 𝑎. Exemple : Soit la fonction 𝑓 telle que 𝑓 𝑥 = 3𝑥 définie sur ℝ. [...]

[...] Le point 𝑀( 5 ; 𝑦 ) est sur cette droite. Déterminer 𝑦 . Calculons les coordonnées de 𝐴𝑀 : 𝑥 𝑥 = 5 2 et 𝑦 𝑦 = 𝑦 0 donc 𝐴𝑀( 5 𝑦 Les vecteurs 𝑢 et 𝐴𝑀 doivent être colinéaires dont leur déterminant doit être égal à 0 : 1×𝑦 𝑦 5 + 2 = 𝑦 = 5 2 NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE Soit une fonction 𝑓 définie sur un intervalle 𝐼 de ℝ ; Soit 𝐴 et 𝑀 deux points de la courbe représentative de 𝑓 d'abscisses respectives 𝑎 et 𝑎 + ℎ. [...]

[...] Remarque : Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs. Propriété : Toute droite parallèle à l'axe des ordonnées admet pour vecteur directeur 𝑢(0; 𝜆) où 𝜆 est un nombre réel non nul. Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet pour vecteur directeur 𝑢(1; 𝑚) où 𝑚 est son coefficient directeur. Exemple : Soient 𝐸(3 ; et 𝐹(−1 ; 6). Déterminer un vecteur directeur de la droite (𝐸𝐹). 𝑥 𝑥 donc la droite (𝐸𝐹) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. [...]