Les fonctions continues sur un intervalle

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Résumé de cours de Mathématiques niveau Lycée sur les fonctions continues avec les définitions, propriétés et formules indispensables afin de bien comprendre l'essentiel du cours.

Extraits

[...] 1 7 - 2A C # - * C G Fonctions continues sur un intervalle Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et soit a un réel de I. f est continue en a signifie que f admet une limite en a égale à f(a). f est continue sur I signifie qu'elle est continue en tout réel de I. [...]

[...] Bijection fonction réciproque le théorème précédent se généralise aux intervalles ouverts en f ou lim f . remplaçant ou par lim x x Par convention, les flèches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuité et la monotonie stricte. Dans ces deux situations, on dit que f est une bijection de sur (les bornes de ces intervalles peuvent être ouverts ou fermés et a,b,c,d peuvent être des valeurs infinies Il est alors possible de définir la fonction réciproque de f notée f-1 par : y = f f , , d ] { } 3 Exemple Dans le cas où f est une fonction continue sur et si et sont de signes contraires alors l'équation admet une solution dans (En effet, si et sont de signes contraires alors f , f et on peut appliquer les théorèmes précédents). [...]

[...] Remarque : Si f est continue sur on peut dessiner sa représentation graphique sans lever le crayon. f est continue sur f n'est pas continue en 1 Théorème 1 Les fonctions polynôme, fractions rationnelles, , sin , ln x , e x ainsi que celle obtenues à partir de leurs sommes, produits, quotients ou composition sont continues sur tout intervalle où elles sont définies Théorème 2 Si une fonction est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur I. [...]

[...] Résolution de l'équation x La fonction définie par f x 3 est dérivable sur Sa dérivée f ' 2 est strictement positive sur par conséquent f est strictement croissante sur Puisque f est dérivable sur elle est également continue sur cet intervalle. Enfin f et f on en déduit que l'équation une x admet solution unique dans l'intervalle En appliquant le même raisonnement à l'intervalle on en déduit qu'une valeur proche de la solution à 0,5 près est 0,65. [...]