Les fonctions affines et le barème progressif

Résumé du document

(...) Dans la situation évoquée, la fonction f donnant l'impôt en fonction du revenu x, s'écrirait :
pour x E [0;5614], f(x)=0 et,
pour x E ]5614;11198] f(x)=0,055x.

Sur le premier intervalle, la fonction est constante (égale à 0, et donc représentée par le segment de droite bleu confondu avec l'axe horizontal) et sur le deuxième intervalle, elle est linéaire et donc représentée par le segment de droite rouge qui, si on le prolongeait, devrait passer par l'origine O. L'iniquité évoquée plus haut se traduit ici par le saut brutal (la discontinuité) qui apparaît au point d'abscisse 5614.

Pour assurer la continuité de l'impôt, il faut donc recoller les deux segments. Si on persiste à vouloir imposer les revenus supérieurs à 5614? au taux de 5,5%, il faut donc que la fonction affine qui donne l'impôt dans ce cas soit, dans ce cas, représentée par le segment de droite en traits discontinus bleus, parallèle au segment rouge et collé à l'extrémité du segment bleu. Cette fonction doit donc s'écrire : pour x E [5614;11198], f(x)=0,055x+b2.

Le « correctif » b2 doit être calculé de façon qu'on retrouve un impôt nul en 5614 (puisque c'est la valeur de cet impôt lorsqu'on considère 5614 comme faisant partie de la tranche précédente). [...]
La fonction f s'écrit maintenant correctement de la manière suivante :
[...]

On constate que dans chaque tranche, les intervalles peuvent être fermés sur 5614, puisqu'il y a continuité ; la question posée au début de chapitre est donc résolue : pour un revenu de 5614?, l'impôt est nul, quelle que soit la tranche dans laquelle on considère que 5614 se situe.

Etudions maintenant sur le graphique n°6 ci-dessous, ce qui se passe pour un revenu imposable de 11198? qui est la borne supérieure de la deuxième tranche (...)

Extraits

[...] Le tableau ci-dessous contient ces résultats : Comme l'impôt est une fonction croissante du revenu imposable, il suffit de parcourir la dernière colonne du tableau pour déterminer la tranche et la formule qui a été appliquée. On constate que 13000 étant compris entre 2241,48 et 14753,58, le revenu imposable est bien dans la tranche Etude du taux moyen Le taux moyen d'imposition pour un contribuable, est le rapport de l'impôt payé à son revenu imposable. Il s'agit donc de la fonction t définie par : . [...]

[...] Il faut simplement se placer en E11 et demander d'ajuster $A$11. L'écran ci- contre indique le paramétrage de l'outil valeur cible La machine doit afficher un revenu de 21010€ et un impôt de 1681€. [...]

[...] Les fonctions affines apparaissent lors de l'étude de nombreux phénomènes économiques. Comme elles sont d'un usage très simple, on s'en sert aussi pour approcher des phénomènes plus complexes. Exemple 1 : Un coût total de production est en général la somme d'un coût fixe et d'un coût variable. Si ce dernier est proportionnel aux quantités produites, le coût total est alors une fonction affine des quantités produites. Ainsi pour un coût fixe b de 10000€ et un coût unitaire a de le coût total en euros pour x unités produites s'exprime à l'aide de la fonction f définie par : (pour x(0). [...]

[...] Les données susceptibles d'être modifiées sont inscrites en bleu. C'est le cas des bornes supérieures des tranches, des taux et des de tranche (certaines peuvent disparaître), et aussi du revenu imposable écrit dans la cellule A11 pour lequel les calculs ont été effectués dans la même ligne. Le résultat de l'impôt pour ce revenu est calculé en B11 et est affiché en rouge et gras. Comme tout le reste, il se calcule à l'aide des formules qui vont suivre. Fabrication du barème : Les cellules A4 et D4 ont été initialisées à 0. [...]

[...] Cette propriété est caractéristique des fonctions affines (et donc des droites). Cela signifie que ce rapport n'est constant que si la fonction considérée est affine et seulement dans ce cas (et donc si et seulement si la courbe représentative de la fonction est une droite). L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical. La droite de l'exemple ci-contre est représentative de la fonction affine . L'ordonnée à l'origine est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical, ici 2. [...]