Les fonctions à 2 variables

Résumé du document

Fiche de cours de Mathématiques sur les fonctions à 2 variables avec des exercices types et des exemples.

Extraits

[...] Pareil pour ( Def : La différentielle de f au point est définie par : f = + Exemple f(x = + - 2 x y = 2x 2 y = 6y 2x f = x + = 2x + (constant)– 2y + 6y 2x = 4y + Exemple 2 : f(x = e-xy = (u'v + uv') 2x e-xy + e-xy = 2y e-xy + e-xy Rem : Si = alors on dira que f est symétrique en x,y ( Dans ce cas là, il nous suffit de calculer car = Et f = dx + dy = 0 Il faut dire Par symétrie ( On a calculé les dpp sur leur ensemble de définition . si Si on a une fonction f définie par exemple par f(x = . [...]

[...] si = Pour le calcul des dpp, cela va se passer en 2 étapes Calcul des dpp sur Calcul des dpp en Rappel : = = Exercice type si f(x = 0 si = Calcul des dérivées partielles premières sur ℝ² - = = Par symétrie, = Calcul des dpp en = = = 0 Par symétrie, = 0 f est-elle continue sur ℝ² ? si f(x = 0 si = ( f étant un produit de deux fonctions continues sur elle est aussi continue sur ( reste la continuité en Pour cela, voyons si ( = 0 = = = On a donc trouvé deux chemins tendant vers donnant des limites différentes pour f ( Donc f n'a pas de limites en f n'est pas continue en et ne l'est pas non plus sur ℝ² Conclusion : on peut avoir f et ayant les dpp sur ℝ² sans être continue sur ℝ² La classe C1 Déf : f est de classe C1 si ses dpp existent et sont continues. [...]

[...] Fiche Mathématiques Chap : Fonctions à 2 variables Ensemble de définition et représentation On cherche les tels que f(x soit calculable Notation : par exemple, pour f(x = on va noter : Df = ℝ ℝ = ℝ² Produit cartésien Exercices type : f(x = ( Il faut que : 0 et 0 ( = 0 ( ( x=y=0 ( = ( valeur interdite Donc Df = ℝ² - ℝ y A enlever x f(x = Il faut que x+y-1 0 (ce qui est toujours vrai) Tel que Donc Df = ( x+y-1 0 ( y 1-x y Y 1-x x Y 1-x y = x ( et représentent Y 1-x et Y 1-x ( Il reste à savoir qui est associé à qui. [...]

[...] ) 0 bornée entre et 1 Donc f(x 0 III) Continuité On va distinguer : ( Continuité sur un domaine On précisera alors que f est la somme, le produit, le quotient ou la composée de fonctions continues ( Continuité en un point f est continue en si Exercice si f(x 0 si = f est continue en si = 0 degré 1 f(x = degré 2 Comme deg N [...]

[...] Donc f n'a pas de limite en Donc f n'est pas continue en Exercice 2 si f(x 0 si = Pour montrer que f est continue en il faut montrer que = 0 ( f(r cos , r sin ) = cos² ln + ) = ln = 2r²cos² ln r = ln r x 0 (car ) r ( D'où = 0 = Donc f est continue en ( Autre méthode pour le calcul d'une limite Lorsque l'on a les fonctions trigonométriques sinus et cosinus, on va essayer de les faire disparaître grâce à un encadrement. [...]