La fonction zêta de Riemann et la distribution des nombres premiers

Résumé du document

Il est fascinant de voir des domaines assez éloignés des Mathématiques se rejoindre, créant ainsi des liens fondamentaux et riches en apports théoriques. Les exemple ne manquent pas : Algèbre et Géométrie, Equations aux Dérivées et Probabilités, Analyse Complexe et Algèbre..., tissant ainsi une toile complexe entre les différentes branches existantes. De telles analogies créent de nouvelles manières d'aborder des problèmes, d'en résoudre (je pense par exemple ici au fameux dernier Théorème de Fermat qui, partant d'un problème arithmétique, a trouvé les fondements de sa preuve dans les formes modulaires et les courbes elliptiques) et de faire évoluer plusieurs objets simultanément, comme cela a été le cas pour l'étude de la distribution des nombres premiers.

En effet, l'étude de cette distribution est depuis longtemps un problème très important en Mathématiques, ses liens avec le cryptage, par exemple, étant fondamentaux actuellement. Il n'en reste pas moins qu'il s'agit d'un problème difficile à cerner, surtout avec des outils qui peuvent tomber sous le sens à première vue : les techniques arithmétiques. Il a donc fallu passer par un autre chemin, si l'on peut dire, pour mieux comprendre et avancer dans la "maîtrise" de cette répartition des nombres premiers. C'est ainsi qu'est née la Théorie Analytique des Nombres, utilisant des outils d'Analyse pour résoudre des problèmes liés aux nombres entiers, ce qui ne semble pas forcément naturel de prime abord (...)

Extraits

[...] nLog(n) lim Le lien fondamental entre les z´ros de la fonction e ζ et la r´partition des nombres premiers e Nous avons clairement remarqu´ qu'il ´tait n´cessaire de savoir que la fonction ζ ne e e e devait pas s'annuler sur Re(z) ce qui cr´ait ainsi une premi`re relation entre la e e distribution des nombres premiers et la fonction de Riemann. Maintenant, dans cette partie, nous allons montrer un lien clair et profond entre ces deux notions, plus pr´cis´ment au niveau du terme d'erreur dans le th´or`me des nombres e e e e premiers. Nous aurions pu proposer cette d´monstration ` la place de celle faites dans la partie 3 e a pour le th´or`me des nombres premiers. [...]

[...] e Mes remerciements vont aussi ` Habiba Kadiri, en Post-Doctorat ` l'Universit´ de a a e Montr´al, pour son apport de documents et de r´flexions en mati`re de th´orie analye e e e tique des nombres, par mails interpos´s. e 2 Il est fascinant de voir des domaines assez ´loign´s des Math´matiques se rejoindre, e e e cr´ant ainsi des liens fondamentaux et riches en apports th´oriques. Les exemples ne e e manquent pas : Alg`bre et G´om´trie, Equations aux D´riv´es Partielles et Probabilit´s, e e e e e e Analyse Complexe et Alg`bre tissant ainsi une toile complexe entre les diff´rentes e e branches existantes. [...]

[...] - 0 et 1 ne sont pas premiers. - 2 est le seul nombre premier pair Th´or`me (Fondamental) Tout entier n > 1 se d´compose de fa¸on e e e c unique en un produit de facteurs premiers D´monstration e ) est un anneau euclidien donc factoriel. Les ´l´ments inversibles pour la ee deuxi`me loi sont et 1. e Donc tout ´l´ment n > 1 peut se d´composer de fa¸on unique en produit de facteurs ee e c irr´ductibles. Or, dans Z : e p premier p non inversible = 1 et p = ) et si p = ab alors a = ou b = p est irr´ductible. [...]

[...] Ainsi on en d´duit l'estimation c e e e que l'on cherchait Autour de la fonction ζ : quelques formules et approximations ζ Proposition On a : = ζ(z) n=1 Avec Λ(n) = Log(p) si n = pm et 0 sinon. D´monstration En prenant le logarithme de la fonction ζ d´finie sur Re(z) > 1 en e e tant que produit eul´rien, on obtient : e Log(ζ(z)) = Log(1 p En d´rivant et en r´arrangeant l'ordre des termes, on obtient : e e ζ p Log(p)(1 p ) = p Log(p) vz ζ(z) p p On voit clairement que p p Log(p) v=0 p vz = p v Log(p) = p(v+1)z n=1 Λ(n) ζ z n ζ(z) Proposition ζ Γ + + Log(π) + ζ(z) Γ(z/2 + ( ρ + ) ρ D´monstration La fonction ξ ´tant une fonction enti`re d'ordre un, on peut l'´crire : e e e e Az+B z/ρ ξ(z) = e z/ρ)e ses z´ros satisfont : ρ ρ u e 0. [...]

[...] ϕ(et ) et On pose : F = e dt et 0 ϕ(x) x ϕ(x) 1 t On pose x = e et z = s donc : F = dx = = s+1 s+1 x x Φ(s) 1 s Nous avons montr´ que la fonction = Φ(s) est holomorphe sur un voisinage e de C : Re(s) = C : Re(z) Alors Φ(s) = + = 1 + et le membre de droite est holomorphe s s s s sur un voisinage de Re(s) La fonction F v´rifie alors les conditions du th´or`me pr´c´dent, ce qui implique que e e e e e l'int´grale e 0 f (t)dt est convergente, ce qui prouve la proposition Remarque encore, la non-annulation de ζ sur C : Re(z) a est une essentielle pour permettre le prolongement holomorphe, et ainsi v´rifier les e e hypoth`ses du th´or`me pr´c´dent. e e e e e Proposition lim ϕ(x) x D´monstration On consid`re les ensembles : e e - = ϕ(x) + - = ϕ(x) Montrons que ces ensemble sont born´s. [...]