Fonction réelle d'une variable réelle, limites, équivalents, continuité et branches infinies

Thèmes abordés

Fonction réelle, variable réelle, limites, équivalents, continuité, branches infinies

Résumé du document

Dans toute cette partie, on considère une fonction réelle f définie sur un intervalle I et x0 un élément de I ou une extrémité de I.
Si f admet l et l0 pour limites en x0; alors l = l'. En d'autres termes, la limite d'une fonction en un point, si elle existe, est unique.

Extraits

[...] Fonction reelle d'une variable reelle Limites, equivalents, continuite et branches infinies G´n´ralit´s e e e domaine de d´finition e D´finition 1.1 Soit f une fonction r´elle d'une variable r´elle. L'ensemble de d´finition de s'il e e e e n'est pas donn´, est l'ensemble des x R pour lesquelles on peut calculer f Il est not´ Df . e e Remarque : Lorsque le domaine de d´finition de f n'est pas donn´ dans un il est imp´ratif e e e e e de le calculer avant toute autre chose. [...]

[...] e e Continuit´ sur un intervalle e D´finition 4.3 Continuit´ d'une fonction sur un intervalle e e Si I est un intervalle ouvert, on dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I. Si I = R2 avec a [...]

[...] x0 Proposition 2.1 Unicit´ de la limite e Si f admet l et l pour limites en x alors l = l . En d'autres termes, la limite d'une fonction en un point, si elle existe, est unique. Remarque : Si x0 I (i.e. si f d´finie en x0 ) et si lim f = alors n´cessairement f (x0 ) = l. e e Limite ` droite et limite ` gauche a a D´finition 2.2 Limite ` droite et limite ` gauche e a a Si f est d´finie sur ]x0 ; avec a a > x On dit que f admet l pour limite ` droite en e a x0 si : > > ; x0 + f l ε. [...]

[...] e Si lim f = On dit que la courbe admet une branche infinie au voisinage de Dans ce cas, il faut travailler un peu plus, on passe ` l'´tape 2. a e 2. Rappelons qu'on est dans le cas lim f = On ´tudie alors lim u e f , si elle existe x Si lim f n'existe pas, on ne peut rien dire de plus. x R R 1 Exemple 5.4 Soit f : x x(2 + sin(x)) 5 Si f = la courbe a au voisinage de une forme qui ´voque celle d'une e x branche de parabole d'axe ı). [...]

[...] a 1 Exemple 2.2 D´terminons la limite en de e 1+x x2 lim = ex lim ln . = d'o` u lim ln comme lim ex = on obtient lim 1+x = 0 et donc x + x2 x = 1. x + x2 = 0. Finalement, ln x x2 Th´or`me 2.3 limite d'une fonction monotone e e 2 Si I . u Si f est d´croissante et minor´e sur alors f admet une limite finie en . e e Si f est croissante et major´e sur alors f admet une limite finie en . [...]