Fonction logarithme népérien

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, Fonction composée, Représentation graphique, Relation fondamentale

Résumé du document

On appelle fonction logarithme népérien l'application réciproque de la fonction exponentielle, elle est notée ln

Fonction composée (ln o u)
Si f = ln o u, alors x appartient à l'ensemble de définition de f ssi x appartient à l'ensemble de définition du u et u(x) > 0.

Extraits

[...] Mathématiques : fonction logarithme népérien Définitions On appelle fonction logarithme népérien l'application réciproque de la fonction exponentielle, elle est notée ln (ln = ) Pour tout y de , il existe un réel x et un seul tel que y = , ce réel x est appelé logarithme népérien de il est noté x = ln(y). [...]

[...] La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R donc la fonction exponentielle est une bijection de donc sur alors pour tout de il existe un seul réel tel que ) = - Pour tout x de pour tout y de , y = si et seulement si x = ln(y) - Pour tout x de pour tout y de y = ln(x) si et seulement si x = - ln(1) = 0 et ln(e) = 1 Représentation graphique : La fonction exp est strictement croissante sur R donc la fonction ln est strictement croissante sur (car c'est une bijection) Relation fondamentale et conséquences Relation fondamentale : Pour tout a de , pour tout b de , ln(ab) = ln(a) + ln(b) Propriétés : Pour tout a de , pour tout b de - ln = - ln b - ln = ln a - ln b Pour tout n entier relatif, ln( ) = n*ln(a) Remarque : - Pour tout x de , ln( ) = x - Pour tout x de , = x - Pour tout x de , ln( ) = 2ln(x) Pour tout a de , pour tout b de ; - ln(a) = ln(b) si et seulement si (ssi) a = b - ln(a) > ln(b) ssi a > b - ln(a) 0 donc la fonction ln est strictement croissante sur Limites : - = + - = = 0 pour tout n entier naturel - = 0 pour tout n entier naturel - = 1 - = 1 Fonction composée (ln o Si f = ln o alors x appartient à l'ensemble de définition de f ssi x appartient à l'ensemble de définition du u et > 0. [...]