La fonction logarithme

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée sur la fonction logarithme.

Extraits

[...] Par ailleurs : 1 ) = ln a ln a = 0 donc pour tout , ln(ax) ( lna + lnx) = 0 soit ln(ax) = ( lna + lnx) en posant x = b , on obtient la formule : ln( ab ) = lna +ln b Logarithme d'un inverse. si b = avec a , la formule précédente devient : ln 1 = lna + ln( ) a a = lna + ln( ) a soit 1 ln( ) = - lna a d'où Logarithme d'un quotient a quels que soient a et b réels positifs non nuls, ln( ) = ln( a ) = lna + ln( ) = lna lnb b b b a ln( ) = lna lnb b Logarithme de ap , p , a Prenons a et p et posons x = ln( ap ) alors exp( x ) = exp [ ln( ap = ap et , y = p.lna exp( y ) = exp(p.lna ) exp(lna)]p= ap on en déduit que exp( x ) = exp( y ) et donc que ln( ap ) = p.lna Fonction logarithme Logarithme de a , a si a , alors a d'où ln( a ) = donc lna = ln( a ) + ln( a ) = 2 ln( a ) 1 lna 2 Limite de ln en + quel que soit A > 0 un nombre arbitrairement grand. [...]

[...] Fonction logarithme t A 0 - B Premières propriétés. si ( t ) est la tangente au point 0 ; 1 ) de la courbe ( c ) d'équation y = ex alors son équation est y = x + 1 Soit B le symétrique de A par rapport à la droite ( ) alors 1 ; 0 ) x' = y Si x ; y ) et M ( t ) alors M' ( x'; y' ) et M' ( t ' ) avec y' or y = x + 1 donc x' = y' + 1 et y' = x' 1 c'est l'équation de (t' ) ( Γ ) étant le symétrique de ( c ) par rapport à ( ) et la symétrie axiale conservant la tangence, on déduit que (t' ) est la tangente à ( Γ ) en 1 ; 0 ) La pente de ' à savoir 1 est le nombre dérivé de la fonction ln au point d'abscisse 1 On a donc ln( 1 ) = 0 et ( ln)' ( 1 ) = 1 Puisque (ln)'( 1 ) = par définition du nombre dérivé : ln( 1 + h ) = ln( 1 ) + h ( ln)'( 1 ) + h.ϕ( h ) avec lim ϕ( h ) = 0 0 Fonction logarithme ln( 1 + h ) = h + h.ϕ( h ) avec lim ϕ( h ) = 0 soit d'où 0 ln( 1 + h ) = lim ( 1 + ϕ( h = 1 h 0 0 lim Conséquences : au voisinage de ln( 1 + x ) x autre écriture équivalente à la précédente : lim ( 1 ln x Fonction dérivée de ln La fonction exponentielle étant continue et dérivable sur sa courbe ( c ) admet une tangente en chacun de ses points. [...]

[...] La symétrie axiale conservant la tangence, la courbe ( Γ ) représentant la fonction logarithme admet une tangente en chacun de ses points et par conséquent cette fonction est dérivable sur 0 ; + Les fonction ln et exponentielle étant des bijections réciproques l'une de l'autre : eln x = x on en déduit que ( ln)'( x ) eln x = 1 et en dérivant ( ln)'( x ) = = x eln x Conséquences. 1 x donc soit ( ln)'( x ) > 0 la fonction logarithme est une fonction monotone strictement croissante. [...]

[...] r , r , lim ( xr lnx ) = 0 x démonstration : On pose y = xr alors lny = r lnx lim xr = x donc et xr lnx = lim ( y lny ) = 0 x ylny r d'où lim ( xr lnx ) = 0 x Fonction logarithme exemples : lim ( x2lnx ) = 0 x lim ( x lnx ) = 0 x lim x [ x (lnx)2] = 0 car x (lnx)2 = ( x lnx Théorème. r , r , lim lnx xr démonstration. [...]

[...] on a vu que ln( 1 ) = puisque la fonction ln est strictement croissante : si x 0 ; 1 alors ln x 0 ( a , b ) , a et b , ( a b ) ( ln a ln b ) Fonction logarithme Logarithme d'un produit. si a , considérons la fonction f : x ln(ax) ( lna + lnx) la fonction f est dérivable sur et f '( x ) = a - = - ax x x x on en déduit que la fonction f est constante. [...]