Logarithme et exponentielle

Résumé du document

Cours de Mathématiques niveau Lycée sur la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle.

Extraits

[...] La fonction exponentielle transforme les sommes en produit. On en déduit les propriétés suivantes : La notation ex On pose exp(x) = ex pour tout réel x. Conséquences: . ex+y = ex ey; enx Limites Comportement asymptotique Donc la représentation graphique de la fonction exponentielle admet en - la droite d'équation y = 0 comme asymptote horizontale. Approximation par une droite au voisinage de 0 On a : e0 = 1 La fonction f définie par 1 + x est la meilleure approximation affine de la fonction exp au voisinage de 0 croissance comparée Pour tout entier naturel non nul on a : Remarque : A l'infini, l'exponentielle de l'emporte sur toute puissance de . [...]

[...] Etude d'une fonction Soit Domaine: il faut que le quotient soit positif or celui a le même signe que le produit Donc la fonction est définie sur I = ] - + [ En fait la fonction f est continue et est dérivable sur I. Calcul de la dérivée: Donc a pour signe l'opposé du signe de donc est négative sur I D'où la décroissance de f sur I. Etude des limites: 6. Généralités sur la fonction exponentielle Il existe une unique fonction dérivable sur , telle que = f et = 1. Par définition, on la nomme fonction exponentielle : elle sera notée exp. Propriétés: 1. exp(0) = exp est dérivable sur et exp'(x) = exp(x) pour tout x réel 3. [...]

[...] Logarithme népérien et exponentielle (Dans ce chapitre I désignera un intervalle réel) 1. Généralités sur le logarithme népérien Définition: la fonction logarithme népérien est la primitive sur [ , de la fonction qui s'annule en 1. On la notera ln(x). On aura ln(1) = 0. Propriété : pour tout x > 0 on a : ln(x) = Propriété: la fonction ln est continue et est dérivable sur de plus Preuve: immédiate car ln est par définiton la primitive de qui s'annule en 1. [...]