Fonction exponentielle et équation différentielle

Résumé du document

Théorème :
Il en existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f O=1 et f'=f.

Définition :
La fonction ainsi définir s'appelle fonction exponentielle et on la note exp. Ainsi : exp 0 = 1.
La fonction exp est dérivable sur R et exp'=exp (...)

Extraits

[...] Etude du signe de la dérivée Par définition, 𝑒𝑥𝑝 est dérivable sur ℝ et 𝑒𝑥𝑝′ = 𝑒𝑥𝑝. De plus, on a vu que pour tout 𝑥 ℝ , exp 𝑥 > donc pour tout 𝑥 ℝ 𝑒𝑥𝑝′ 𝑥 > Donc la fonction 𝑒𝑥𝑝 est strictement croissante sur ℝ . Pour tout réels 𝑥, 𝑦 : 𝑥 [...]

[...] Fonction exponentielle et premières propriétés Théorème Il en existe une unique fonction f définie et dérivable sur ℝ telle que 𝑓 0 = 1 et 𝑓 = 𝑓 . Définition La fonction ainsi définie s'appelle fonction exponentielle et on la note 𝑒𝑥𝑝. Ainsi : exp 0 = La fonction 𝑒𝑥𝑝 est dérivable sur ℝ et 𝑒𝑥𝑝′ = 𝑒𝑥𝑝 Premières propriétés Pour tout 𝑥 ℝ, exp −𝑥 = 1 exp (𝑥) . La fonction 𝑒𝑥𝑝 ne s'annule pas sur ℝ . [...]

[...] III - ETUDE DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE 𝒚′ = 𝒂𝒚 + 𝒃 Théorème Les solutions de l'équation différentielle 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏 (où b sont des réels avec 𝑎 sont les fonctions dérivables sur 𝑏 ℝ 𝑥 𝐶𝑒 𝑎𝑥 où C est une constante réelle. 𝑎 Corollaire L'équation différentielle 𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏 (𝑎 b réel) admet une unique solution telle que 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 (où 𝑥 𝑦0 sont des réels donnés). 𝑦 0 𝑦 = 2𝑦 + D'après le théorème, les solutions sont les fonctions 𝑦: 𝑥 𝐶𝑒 2𝑥 . [...]