Dérivabilité d'une fonction réelle à valeurs réelles

Résumé du document

Cours de Mathématique sur les fonctions dérivées ainsi que sur quelques théorèmes qui les entourent : théorème de Rolle et formule des accroissements finis. Celui-ci contient de nombreux exemples et exercices.

Extraits

[...] Cet exemple montre que le point c n'est pas unique ) a = b = e f = ln x. Il existe c e2 [ tel que ln (e2 ) ln e = 1c (e2 e). On trouve alors c = e Inégalité des acrroissements nis Il se trouve que les points c tels que f 0 = f f ne sont pas toujours faciles à calculer et on se contente d'une majoration de f 0 sur b[. Corollaire 2 (Inégalité des accroissements nis) b deux nombres réels tels que a [...]

[...] Si f = x on a f 0 = mais f ne présente ni maximum ni minimum à l'origine. 4.2 Théorème de Rolle Théorème 4 (Théorème de Rolle) Soient a et b une fonction à valeurs réelles, dénie et continue dans Supposons que f tel que f 0 = = f = a aire. Supposons maintenant f 0 ; supposons donc (par exemple) qu'il existe des x tels que f > 0. [...]

[...] n possède α + h0 = 0 admet au Exercice 12 Soit a et soit g C 2 telle que = g0 = 0 et g(a)g0 nis sur que entraîne l'existence d'un α tel = ag 0 = g(a). Comme a > et g0 sont de même signe, 0 car g(a)g0 [...]

[...] Or Φ0 = f 0 f f , donc Φ0 = 0 f f f f = a)f 0 f 0 = 6 Remarque ) On vient de montrer que l'égalité des accroissements nis est une conséquence du théorème de Rolle ) Avec l'hypothèse f = f dans le théorème 5 (égalité des accroissements le théorème de Rolle apparaît comme un cas particulier de l'égalité des accroissements nis. Exemples de calcul de c : ) a = b = f = . Il existe c tel que 51 1 = c12 1). [...]

[...] fα 2.2 Dérivée de la composée de deux fonctions Théorème 2 sur J et Soient f J I alors J deux intervalles ouverts de R. g f est dérivable sur I et on a et f = g 0 0 Si f est dérivable sur g dérivable I. Exercice d'application 2 Déterminer le domaine de dénition, le domaine de dérivalité et calculer la dérivée des fonctions suivantes p x2 1 ; cos(sin ; ln(1 + sin2 ) ; e x ; xx Dérivée d'une fonction réciproque Théorème 3 une bijection d'un intervalle I sur un intervalle J . [...]