Fiche-méthode en Topologie

Résumé du document

[...]
Définition 1. Une distance sur un ensemble X est une fonction d: X x X -> R+ vérifiant les propriétés suivantes :
-> Propriété de symétrie : [...]
-> Propriété de séparation : [...]
-> Inégalité triangulaire : [...].

Définition 2. Une norme est, sur un K - espace vectoriel E, une fonction N: E->R+ vérifiant
les propriétés suivantes :
-> Propriété d'homogénéité : [...].
-> Propriété de séparation : [...].
-> Inégalité triangulaire : [...].

Définition 3. Une isométrie est une application g: X -> X' (où (X, d) et (X', d') représentent deux espaces métriques) vérifiant les propriétés suivantes :
-> g est surjective.
-> g conserve les distances : [...].
On remarquera qu'une isométrie est automatiquement bijective.

Définition 4. Plaçons-nous dans un espace métrique (X, d). Soient a E X et r >0. On définit :
-> La boule ouverte de centre a et de rayon r : B(a, r)={x EX/d(a, x) -> La boule fermée de centre a et de rayon r : BF(a, r)={x EX/d(a, x)6r}.
-> La sphère de centre a et de rayon r : S(a, r)={x EX/d(a, x)=r}.

(...)

Extraits

[...] Toute suite de Cauchy de points de R converge dans R. Rn est complet. Par extension, tout EVN de dimension finie est complet. Un fermé F inclus dans un complet est complet Comment montrer qu'un ensemble X est connexe ? Si X = Rn ou X = Cn, c'est une propriété du cours. Sinon . Espace topologique Espace métrique X n'est pas réunion de deux ouverts disjoints non vides X R est un intervalle ie = U V , , V ) ouverts, U V = = ou = quelconque X n'est pas réunion de deux fermés disjoints non vides X est l'image d'un ie = F , fermes, F G = = ou = intervalle par une app. [...]

[...] est transitive, c'est à dire X y et y x z. Définition 17. Soit , T ) un espace topologique. Il est dit compact si de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini Définition 18. Soit , T ) un espace topologique. Il est dit de Hausdorff (ou séparé) si deux éléments distincts de X peuvent etre séparés par deux ouverts disjoints : x X x x , U ouverts de X tels que x U U U U = Définition 19. [...]

[...] Soit f : , T ) , U ) une application entre deux espaces topologiques. f est dite continue si et seulement si : U , f ) T . Définition 12. Soit f : , , δ) une application entre deux espaces métriques. f est dite uniformément continue si et seulement si : > > X [...]

[...] F est une partie fermée de X si son complémentaire dans X c = X ) est une partie ouverte. Définition 8. Soit X un ensemble et T une famille de parties de X. On dira que T définit une topologie sur X si elle vérifie : . T est stable par réunion quelconque, et intersection finie. Définition 9. Soient , T ) un espace topologique et A une partie de X. A est dite dense dans X si son adhérence vaut X = X). Définition 10. Soit , T ) un espace topologique. [...]

[...] Soit , T ) un espace topologique non vide. On dit que X est localement connexe (respectivement localement connexe par arcs) si pour tout x x possède un voisinage connexe (respectivement connexe par arcs) Méthodes. Caractérisation des ensembles Comment montrer qu'un ensemble U est ouvert ? Espace topologique Espace métrique U est voisinage de chacun de ces pts U est une réunion de boules ouvertes ie U , U Vx U , > U = U U est une réunion d'ouverts U est une intersection finie d'ouverts Tableau 1. [...]