La fonction logarithme népérien

Résumé du document

La fonction exponentielle est définie sur R (l'ensemble des réels), dérivable sur R et strictement croissante sur R. L'image de R par exp est ]0 ; +[.

Pour tout réel a strictement positif, l'équation e(x) = a admet une unique solution b. Ce réel b est appelé logarithme népérien de a et il est noté [...]

Extraits

[...] a des réels strictement positifs. ln(a a a . a ) = ln(a ) + ln(a ) + ln(a ) + . + ln(a ) * logarithme d'une puissance Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n on a ln(a ) = n ln(a) * logarithme d'une racine carrée Pour tout réel a > ln( ) = ln(a) II ) Résolution d'équations et d'inéquations 1. Théorème Pour tous réels a et b > ln(a) = ln(b) a = b ln(a) [...]

[...] Le logarithme népérien I ) Logarithme népérien d'un nombre 1. Définition La fonction exponentielle est définie sur R (l'ensemble des réels), dérivable sur R et strictement croissante sur R. L'image de R par exp est ; + Pour tout réel a strictement positif, l'équation e = a admet une unique solution b. Ce réel b est appelé logarithme népérien de a et il est noté b = ln(a) 2. Conséquences de la définition Pour tout réel a > 0 et tout réel b : e = a b = ln(a) a = e b = ln(e ) 3. [...]

[...] Etude de la fonction ln Pour tout réel x > 0 et tout réel e = x y = ln(x) La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle (strictement croissante sur et a valeur dans ] 0 ; + On en déduit les propriétés suivantes de la fonction ln : ensemble de définition : ] 0 ; + la courbe représentant la fonction ln dans un repère orthonormal est symétrique de la courbe y = e par rapport à la droite d'équation y = x = = + dérivabilité : la fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + et a pour dérivée x sens de variation : sur ] 0 ; + [ , ln'(x) = donc ln'(x) > 0. La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + la courbe : * asymptote verticale d'équation x = 0 * tangente au point ; : y = x 1 * tangente au point ; : y = x 3. Conséquences de la dérivabilité en 1 La fonction ln est dérivable en 1 et de nombre dérivé 1. [...]

[...] Alors la fonction x (ln est dérivable sur I et a pour dérivée x Exemple : Soit f : x ln(x sur ] ; + [ f est dérivable sur ] ; + [ et f'(x) = V ) Primitives 1. Primitive sur ; de = 1/x La fonction x ln(x) est dérivable sur ; elle admet pour dérivée x et ln(1) = d'où le théorème suivant : La primitive de x sur ; qui s'annule en 1 est la fonction ln Primitive de u'/u Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et ne changeant pas de signe sur I. [...]