Les limites et continuité d'une fonction

Résumé du document

Fiche de Mathématiques niveau Terminale S sur les limites et la continuité d'une fonction.

Extraits

[...] Donc donc (limite d'une somme). On en déduit que : (limite d'un inverse) et . La droite d'équation y = x est asymptote oblique à C. De plus > 0 et x > 0 au voisinage de donc > 0. Donc x > 0 et C est au dessus de son asymptote en . Exercice 4 ( Enoncé Etudier les variations de la fonction f définie sur R par = x + cos(x). En déduire que l'équation = 2 a une unique solution, en donner un encadrement d'amplitude près. [...]

[...] Pour tout réel x : donc . La fonction f est minorée par la fonction = x 1 qui tend vers quand x tend vers . Donc elle tend vers . La fonction f est majorée par la fonction = x + 1 qui tend vers quand x tend vers . Donc elle tend vers . On obtient le tableau de variations suivant : f est une fonction continue, strictement croissante sur R. L'image de F par f est R. [...]

[...] f est comprise entre deux fonctions qui tendent vers 2 quand x tend vers . Le théorème de l'encadrement nous permet d'affirmer que f converge et sa limite est 2 en . Exercice 3 ( Enoncé f est la fonction définie sur R par . C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal Etudier la limite de f en Vérifier que pour tout réel on a 3. Déduisez-en que C a une asymptote oblique D en . Précisez la position de C par rapport à D. [...]

[...] Quand x tend vers à droite, -2x + 1 tend vers x + 3 tend vers zéro en restant positive, donc tend vers . (limite d'un quotient) Quand x tend vers à gauche, -2x + 1 tend vers x + 3 tend vers zéro en restant négative, donc tend vers . (limite d'un quotient) La droite d'équation x = est asymptote verticale à la courbe. Exercice 2 ( Enoncé f est la fonction définie sur par Démontrer que pour tout x > 1 : 2. En déduire la limite de f en ( Solution 1. [...]

[...] On dit que la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à C au voisinage de si f a pour limite l en . On dit que la droite d'équation x = a est asymptote verticale à C si la limite de f en a par valeurs inférieures ou supérieures est ou . On dit que la droite d'équation y = ax + b ( ) est asymptote oblique à C au voisinage de si 3 Continuité f est définie sur un intervalle I contenant le réel . On dit que f est continue en si . [...]