Les extrema libres - publié le 10/07/2009

Résumé du document

Fiche de Cours de Mathématiques sur les extrema libres.

Extraits

[...] Méthode de l'évaluation du signe de On part d'un exemple : f(x = + + 2x z Pour chercher les points critiques : = 0 ( 2xy + 2 = 0 L1 = 0 ( + 2yz = 0 L2 = 0 ( = 0 L3 Selon L3, y = 1 ou y = - Si y = ( on remplace dans L1 : on a x = et ainsi z = Si y = ( on remplace dans L1 : on a x = 1 et ainsi z = On a deux points critiques pour f : ) et B ; ) Il faut alors chercher le signe de : f(a+h ( ; 1+k ; - + l ) ; - ) = + + + 2 + 2 + ) . [...]

[...] ( ni l'un ni l'autre On ne peut conclure que n'est pas un extrémum pour f. [...]

[...] Rem : Il nous faut donc étudier x le signe de f(x En pratique, on considère plutôt le signe de f(a+h Ici, on doit étudier le signe de : + h ; + ; ) + k ; + ) - = + + + + + + + + + 2 h k = + 2ab + 2ac + 2bc = + + 0 Donc A ( ) est un minimum global pour f Cas particuliers f(x = + + + 2 axy 1e étape : recherche des points critiques = 0 2x + 2xy² + 2ay = 0 L1 ( = 0 2y + 2yx² + 2ax = 0 L2 L1 L2 ( x + + ay y 6x = 0 y + + xy = 0 ( = 0 ( x = y xy = 1-a 1e cas x = y On reporte dans L1 et on a : x + x3 + ax = 0 + x = 0 x = 0 d'où x = 0 et y = 0 ou = IMPOSSIBLE On a un point critique A(0 2e cas xy = 1-a On reporte dans L1 x + y + ay = 0 ( x+y=0 ( x = On remplace dans = 1-a ( = cas : ( si a y = ou - Comme xy = 1 Si y = , x = = - = - Si y = , x = = = On a deux points critiques : B ( ) et C ; ) Rem : la recherche des points critiques s'appelle l'étude à l'ordre 1 ( En résumé, Si a > on a 3 points critiques : B et C Si a on a 1 seul point critique : A 2e étape : Etude à l'ordre 2 (règle rst)2x² r = = s = = 4xy + 2a t = = ( En A(0 : r = s = 2a, t = 2 ( = - 4 = 4 Si a > ou si a 0 Donc il n'y a pas d'extrémum en A Si a = 1 ou a = alors - rt = 0 On ne peut conclure Si a alors - rt 0 ( Donc A est un minimum local pour f ( En B ( ) ( idem pour C r = 2 + 2 = 2a s = + 2a = -2a + 4 t = 2 + 2 = 2a ( -rt = - = - 16a + 16 = 16 Si a 0 donc pas d'extremum en B et en C Si a = alors = 0 donc on ne peut pas conclure Si a > alors [...]

[...] Extrema libres 1e étape : recherche des points critiques A est un point critique si : = 0 = 0 Ces points critiques sont d'éventuels extremas 2e étape : Soit un point critique On note r = s = t = 3e étape : et on a la règle : ( si 0 alors est un minimum local pour f ( si 0 alors on n'a pas d'extrémum (point col) ( si = 0 alors on ne peut pas conclure Max local Max global a b min global Min local Exemple : f(x = 1e étape : recherche des points critiques = 0 2x = 0 x = 0 x = 0 ( ( ( = 0 4x3 4y = 0 = 0 y = 0 ; y = 1 ; y = Les points critiques sont : A(0 B(0 et C 2e étape r = = 2 s = = 0 t = = = (car f classe ( En A : r = = 2 s = = 0 t = = ( = 8 > 0 donc on n'a pas d'extrémum en A (point col) ( En B : r = = 2 s = = 0 t = = 8 ( = -16 0 ( Donc A est un minimum local pour f A est-il un minimum global ? [...]

[...] maximum) global de f si : (resp. [...]