Expérience de l'aiguille de Buffon

Thèmes abordés

Aiguille de buffon, expérience, estimateur monte carlo, probabilité

Résumé du document

Dans la suite nous allons utiliser le terme "estimateur Monte Carlo". Il n'y a pas de définition mathématique formelle d'un tel estimateur, il s'agit simplement d'un estimateur construit par l'utilisation d'une méthode de Monte Carlo.
On commence par étudier une méthode probabiliste appelée l'aiguille de Buffon.
L'expérience consiste à jeter une aiguille de longueur L sur un parquet dont on suppose les jointures parallèles et espacées d'une distance d > L.

Extraits

[...] Pour que l'aiguille coupe 2 la jointure, il faut que AB soit donc inférieure à . Donc l'aiguille touche la 2 jointure si et seulement si R [...]

[...] On a donc : 4 dπ 4 dπ 4 dπ R2 sin(y)] π/ sin(y) dx dy π/ sin(y)dy 2 π/2 cos(y)]0 dπ 2 dπ 4 dxdy Donc la probabilité p que l'aiguille coupe une jointure est dπ 1.3 Construction d'un estimateur Monte Carlo de π et d'un intervalle de confiance à 95% On cherche maintenant à construire un estimateur Monte Carlo de π avec un intervalle de confiance à 95%. On prend n variables de Bernouilli X Xn indépendantes et identiquement distribuées. { N on pose Xi = 1 si l'aiguille touche la jointure sinon. On a alors avec les notations précédentes, E(Xi ) = p . Par la loi des grands nombres, on a p = ˆ 1 n n Xi p . i=1 p est un estimateur Monte Carlo de p. [...]

[...] On commence par étudier une méthode probabiliste appelée l'aiguille de Buffon. L'éxpérience consiste à jeter une aiguille de longueur sur un parquet dont on suppose les jointures parallèles et espacées d'une distance d > . Le but de cette partie est de montrer que la probabilité que l'aiguille traverse l'une des jointures du parquet dépend du nombre π . En calculant cette probabilité grâce à un estimateur Monte Carlo, on sera en mesure de donner une estimation de π Condition géométrique pour couper la jointure la plus proche On note R la distance entre le centre de l'aiguille et la jointure la plus proche et θ l'angle entre l'aiguille et cette jointure. [...]

[...] De plus , comme p p , p est un estimateur consistant de p. D'où : ˆ ˆ n(ˆ p p(1 ˆ ˆ On note Zn = n(ˆ p p(1 ˆ ˆ L Z N 1). . Par ce qui précède, pour n assez grand on peut dire que Zn suit une loi normale centrée réduite. L'intervalle de confiance à 95% de Zn est de la forme tel que P ( Zn [...]