Exercices de probabilité avec corrections détaillées

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Exercices de probabilité, corrections détaillées, probabilité des événements, répartitions, espérance mathématique d'un gain, variable aléatoire, représentation graphique

Résumé du document

EXERCICE 1 : une classe de 30 élèves décide de designer un chef de classe, deux adjoints, deux responsables d'entretien. Ces cinq élèves forment un comité. Cette classe est composée de 12 garçons internes, de 12 garçons externes et de 3 filles externes.
1. De combien de façons différentes peut-on composer le comité si l'on veut que :
a. Le chef soit interne.
b. Les adjoints soient de sexes différents.
2. En déduire la probabilité des événements suivants :
a. A : le chef est interne
b. B : les adjoints sont de sexe différents.

Extraits

[...] EXERCICE 4 : Une urne contient les boules B1, B2, B3, B4. On vide l'urne par tirages successifs des boules Soit A l'évènement « la boule B1 est extraite de l'urne avant la boule B2 ». Déterminer la probabilité de A Soit B l'évènement « la boule B1 est extraite au deuxième tirage ». Déterminer la probabilité de B Les évènements A et B sont-ils indépendants ? EXERCICE 5 : Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. [...]

[...] Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les évènements suivants : 𝐶1 : « En cinq minutes, un seul client se présente ». 𝐶2 : « En cinq minutes, deux clients se présentent ». 𝐸 : « En cinq minutes, un seul client achète de l'essence ». Calculer 𝑃(𝐶1 ⋂𝐸) Montrer que 𝑃𝐶2 =0,42 et calculer 𝑃(𝐶2 ⋂𝐸). En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y. [...]

[...] Les choix se faisant au hasard, nous sommes dans l'hypothèse d'équiprobabilité. D'où la probabilité de A est 𝒄𝒂𝒓𝒅𝑨 𝒄𝒂𝒓𝒅 = 𝑨𝟏𝟏𝟓 ×𝑨𝟒𝟐𝟗 𝑨𝟓𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟓 𝒄𝒂𝒓𝒅 𝑩 la probabilité de B est donc 𝒄𝒂𝒓𝒅𝑼 = 𝟐𝟖𝟑𝟎𝟒𝟔𝟒 𝑨𝟓𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟓 EXERCICE 2 : 1. 9 =362880 placements possibles a. si on lit « 421 » sur la deuxième ligne, il reste 6 jetons à placer dans 6 cases soit 𝟔 𝟏 6 =720 configurations possibles. La probabilité cherchée est 𝑷𝟏 = 𝟗 = 𝟓𝟎𝟒. [...]

[...] On rôles symétriques, d'où𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴) 2 peut aussi obtenir également ce résultat par un dénombrement de tous les cas favorables a 𝐴. Un résultat favorable a B est une 4-liste B1, où est une permutation 𝑐𝑎𝑟𝑑𝐵 de l'ensemble à B3, B4}. Il y a donc 3 cas favorables à B. d'où 𝑃(𝐵) = 𝑐𝑎𝑟𝑑 𝑈 = 3 1 4 Déterminons l'évènement 𝐴 ∩ 𝐵. B1 est à la deuxième place et B2 à la troisième ou à la quatrième. Il s'agit donc des 4liste B1, B2, ou B1, B2) où est une permutation de B4}. [...]

[...] Si on lit « 421 » sur la deuxième ligne et « 345 » sur la première colonne, il reste 4 jetons à placer soit 4 Configurations possibles. La probabilité cherchée est 𝟒 𝟐𝟒 𝟏 𝑷𝟐 = 𝟗 = 𝟑𝟔𝟐𝟖𝟖𝟎 = 𝟏𝟓𝟏𝟐𝟎 Sachant que l'on remet les jetons, il y a donc 93 configurations possibles pour la première ligne (choix de 3 jetons parmi 9 avec ordre et remise). Soit A l'évènement « il y a au moins un ‘' 4 ‘' sur la première ligne » ; 𝐴̅ est l'évènement « il n'y a pas de ‘'4'' sur la première ligne ». [...]