Exercices de mathématiques sur les probabilités

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Exercices de mathématiques sur les probabilités, construction d'un arbre pondéré, justifier un résultat, déterminer une loi, interprétation d'un résultat, principe multiplicatif

Résumé du document

L'entraîneur d'une équipe de football observe à l'entraînement que lors d'une série de 5 tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque : 2 buts avec une probabilité de 0,1 ; 3 buts avec une probabilité de 0,3 ; 4 buts avec une probabilité de 0,4 ; 5 buts avec une probabilité de 0,2. Pour la préparation d'un match, le coach fait tirer à ses joueurs deux séries de 5 tirs au but. On suppose que les performances du joueur lors de la seconde série sont indépendantes de celles de la première.

Extraits

[...] On suppose que les performances du joueur lors de la seconde série sont indépendantes de celles de la première Construire un arbre pondéré correspondant aux deux séries de tirs. Expérience aléatoire « choisir un joueur au hasard et lui faire tirer 5 tirs au but » On répète deux fois cette expérience de manière identique et indépendante car les performances du joueur lors de la seconde série sont indépendantes de celles de la première. On peut représenter cette situation par l'arbre pondéré ci-contre : 2. [...]

[...] L'évènement contraire de marquer au moins 5 buts est « marquer 4 buts » d'où : P(X ≥5)'1−P(X '4)'1− 0.01 ' 0.99 d. Calculer et interpréter le résultat. 7
E(X)'∑x ×P(X 'x )'4× 0.01 +5× 0.06 +6× 0.17 +7× 0.28 +8× 0.28 +9× 0.16 +10× 0.04 ' 7.4 ii i'1 En répétant un grand nombre de fois l'expérience, un joueur marquera en moyenne 7.4 buts à l'issue des deux séries de tirs. [...]

[...] Un joueur pris au hasard effectue ses deux séries de tirs ;
Calculer les probabilités des
évènements suivants :
A : « Le joueur a marqué trois buts à la première série puis quatre à la seconde. » B : « Le joueur a marqué quatre buts aux deux séries.»
C : « Le joueur a marqué un total de cinq buts sur les deux séries. » L'évènement A est réalisé par l'issue ;4)
D'après le principe multiplicatif : = P ( ) = 0.3 x 0.4 = 0.12 L'évènement B est réalisé par l'issue ;4)
D'après le principe multiplicatif : = P ( ) = 0.4 x 0.4 = 0.16 L'évènement C est réalisé par les issues ;2)
D'après le principe multiplicatif : = P ( ) + P ( ) = 0.1 x 0.3 + 0.3 x 0.1 = 2 x 0.03 = On considère X la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués à l'issue des deux séries de tirs. [...]

[...] Déterminer la loi de X.
X prend donc les valeurs : 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 est réalisé par l'issue ; 2)
D'après le principe multiplicatif P = = = 0.1 x 0.1 = 0.12 = 0.01 est réalisé par les issues ; ; ; 2)
D'après le principe multiplicatif :
P = = + = 2 x 0.1 x 0.3 = 0.06 est réalisé par les issues ; ; ; ; ;2)
D'après le principe multiplicatif :
P = = + + = 2 x 0.1 x 0.4 + 0.3 x 0.3 = 0.08 + 0.09 = 0.17 est réalisé par les issues ; ; ; ; ;3)
D'après le principe multiplicatif :
P = = + + = 2 x 0.3 x 0.2 + 0.4 x 0.4 = 0.12 + 0.16 = 0.28 est réalisé par les issues ; ; ; 4)
D'après le principe multiplicatif :
P = = + = 2 x 0.4 x 0.2 = 0.16 c. Calculer la probabilité que le joueur marque au moins cinq buts sur les deux séries. [...]