Etude de fonctions mettant en jeu les fonctions logarithme et exponentielle

Résumé du document

Soit la fonction f: f (x) = x2 - 2x - 1 - ln(x - 1)2
L'étude se fera sur l'intervalle [-2; 4].
1) Déterminer le domaine de définition.
2) Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle. Donner les asymptotes.
3) Calculer la dérivée de f.
4) En déduire les variations de la fonction f.
5) Démontrer que la droite d'équation x = 1 est axe de symétrie à la courbe représentative de f.
6) Déterminer le point x0 où la tangente à la courbe a un coefficient directeur égal à 3.
7) (...)

Extraits

[...] 2X 1 + 2X - 2X + Calcul de : = = 1 2X 1 + 2X 1 + 2X = = 1 2X La fonction g est donc impaire dans le repère et J est centre de symétrie. Equation de la tangente au centre de symétrie. L'équation de la tangente T est de la forme : y = - x0) + g(x0) avec x 0 = = = = 4 et = 0 d'où y = x . 1 1 2 4 L'équation de la tangente T s'écrit : y = 4x - 2. [...]

[...] Le domaine de définition est donc "l'intérieur" des racines : Dg = ] 0 ; ln X existe pour tout X > 0. Si on pose X = Limites aux bornes du domaine de définition. Asymptotes. x lim+ = lim+ 1 0 0 x x Il faut calculer lim+ : lim+ x = 0 et lim+ = donc lim+ x 0 0 x x lim+ = lim ln X = donc lim+ = 1 x 0 0 x = 1 x Il faut calculer x x x + : x = 1 et lim( 1 x ) = 0 donc lim = x x 1 x 1 x x = lim ln X = donc = 1 x x D'après les calculs de limites précédents, on en déduit que les droites x = 0 et x = 1 sont deux asymptotes verticales à la courbe. [...]

[...] La tangente admet une équation de la forme y = f - x0) + f(x0). Si le coefficient directeur est égal à on doit résoudre l'équation = 3 pour déterminer x x ( x f = 3 3 = x0 3(x0 - = 2x0 - 2x0 2x02 - 7x0 + 3 = 0 = 72 - 4 2 3 = 49 - 24 = 25 : > 0 donc il existe deux valeurs de x0 7+5 x0 = = 3 ou x 0 = = Si x0 = alors l'équation de la tangente s'écrit : y = 3(x - + f(3). [...]

[...] Etude du signe de la dérivée. Le signe de est donné par le signe du produit : x(x - - : x x x-1 x-2 - + + - + - + + + + + Variations de la fonction f. Calcul de et = - ln 1 = = 4 - 4 - 1 - ln 1 = x + 7 - ln + 7 - ln 9 Axe de symétrie. Pour démontrer que la droite d'équation x = 1 est axe de symétrie, il faut effectuer le changement de variable X = x - 1 et montrer que la fonction définie par X f est une fonction paire dans le nouveau repère. [...]

[...] Exercice 4 4e x Soit la fonction f ( = x e Déterminer le domaine de définition de f. Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition. Donner les asymptotes. Calculer la dérivée de f. En déduire les variations de la fonction f. Montrer que le point est centre de symétrie à la courbe. Tracer la courbe représentative de la fonction f. II- Corrections Exercice 1 Soit la fonction f = x2 - 2x - 1 - ln(x - 1)2 Domaine de définition. [...]