Démonstrations de mathématiques exigibles au bac S

Résumé du document

Fiche regroupant les démonstrations mathématiques exigibles au bac S. Au total, près de 30 démonstrations, détaillées, pour bien comprendre sont présentées.

Extraits

[...] Propriétés : z z z 2 ; z z 2i Démonstrations : Soit z , il existe , uniques tels que z . z z b=0 z=a , a z z b=b b∈ℝ z =ib où b∈ℝ 2a z = = z 2ib z = = z 2i 2i 2i Propriété 2 : Pour tout z , z z Démonstration : Comme z , il existe , : z z Propriétés des modules : Soit avec z z avec Démonstrations des propriétés des modules : = ' ' ' ' = ' ' ' ' En développant : = ' ' ' or, z z ' = a ' = a ' ' = ' ' = ' ' ' zz ' = z z ' . [...]

[...] ! = ! p ! = = = Or p ! p n p . CQFD. [...]

[...] LIMITES ET CONTINUITE démonstrations) Théorème de comparaison : Soit f et g , deux fonctions définies au voisinage de telles que : [ , f x x . Si lim f , alors lim g x . De même en Si : lim g x , alors lim f . x Démonstration du théorème : Si f x g x alors lim f x lim g x . x Comme lim f , soit l'intervalle ] M , il existe un seuil , A f , I tel que , f I . [...]

[...] g f f = = f f 1 Conclusion : x∈ℝ , g x f x∈ℝ , g x f = f f x∈ℝ , f f f CQFD Propriétés : x∈ℝ , 1 P1 exp x exp x P2 exp y x , y x Démonstration : P1 Posons x et . D'après la relation fonctionnelle, on a : exp x exp .exp d'où, exp avec x exp CQFD P2 Posons , x , y y et y . D'après la relation fonctionnelle, on a : exp y . [...]

[...] f On arrive a une contradiction puisque on a dit dans l'hypothèse de départ que et f 2 . (la démonstration dans le cas où f est strictement décroissante est Par l'absurde, c 1=c 2 identique à celle-ci avec seulement f f 2 Théorème : Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Démonstration : Soit a , dérivable en f a d lim f f , avec h f x f = avec Soit d'où lim x g f x f si g f x f or lim a lim g x a donc Et lim g x a lim f f a donc lim f f a Par définition, f est continue en a . [...]